Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da série abaixo.

∑ m = 1 ∞ 1 m sen ⁡ - 1 m m

Passo 1

Uma sacada muito importante aqui nessa questão é lembrar que:

sen ⁡ - x = - sen ⁡ x

Assim, vamos ter que: sen ⁡ - 1 m m = - 1 m sen ⁡ 1 m

Então na verdade vamos ter uma série alternada:

∑ m = 1 ∞ - 1 m m sen ⁡ 1 m

Passo 2

Agora que conseguimos escrever a nossa série na forma de uma série alternada, podemos testar a convergência condicional por meio do teste da série alternada. Consideramos a série na forma:

∑ m = 1 ∞ - 1 m m sen ⁡ 1 m = ∑ m = 1 ∞ - 1 m b n

Ou seja,

b m = 1 m sen ⁡ 1 m

Vamos começar verificando b m + 1 < b m . Para isso, definimos a função f : 1 , ∞ com:

f x = 1 x sen ⁡ 1 x

Só trocando ali o m por um x real. Vamos olhar para a função no domínio que queremos. Para 1 , ∞ , como o denominador vai crescendo e o numerador é constante

1 x

é decrescente. Além disso, para x = 1 , temos:

sen ⁡ 1 ⟹ 0 < 1 < π 2

E para outros valores, como x = 2 :

sen ⁡ 1 2 ⟹ 0 < 1 2 < π 2

Ou seja, o seno sempre está no primeiro quadrante se aproximando de zero para o domínio em questão. Assim, teremos que

sen ⁡ 1 x

será descrente também. Portanto:

f x = 1 x sen ⁡ 1 x

é decrescente e temos: b m + 1 < b m

Show. Um critério já foi.

Passo 3

Agora vamos para

l i m m → ∞ b m = 0

Para isso, testamos:

lim x → ∞ ⁡ f x = l i m x → ∞ 1 x sen ⁡ 1 x

Pela natureza do nosso amigo seno: - 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1

- 1 x ≤ 1 x sen ⁡ 1 x ≤ 1 x

- l i m x → ∞ 1 x ≤ l i m x → ∞ 1 x sen ⁡ 1 x ≤ l i m x → ∞ 1 x

0 ≤ l i m x → ∞ 1 x sen ⁡ 1 x ≤ 0

Assim, pelo teorema do confronto, ou sanduíche para os íntimos:

l i m x → ∞ 1 x sen ⁡ 1 x = 0

Portanto, teremos:

l i m m → ∞ b m = 0

Passo 4

Show, agora precisamos testar a convergência absoluta. Lembrando que uma série ∑ a n converge absolutamente se ∑ a n converge. Então a nossa série vai convergir absolutamente se a série:

∑ m = 1 ∞ 1 m sen ⁡ 1 m

Convergir. Mas essa série não converge! Vamos ver por quê.

Passo 5

Vamos fazer o teste da comparação no limite. Vou usar a série alternada b n = 1 / m :

lim m → ∞ ⁡ a n b n = lim m → ∞ ⁡ 1 m sen ⁡ 1 m 1 / m

lim m → ∞ ⁡ a n b n = lim m → ∞ ⁡ m m sen ⁡ 1 m = lim m → ∞ ⁡ m m m sen ⁡ 1 m

lim m → ∞ ⁡ a n b n = lim m → ∞ ⁡ m sen ⁡ 1 m = lim m → ∞ ⁡ sen ⁡ 1 m 1 m

Vou fazer a substituição: 1 m = u . Assim, quando m vai pra infinito u vai pra zero. Então:

lim m → ∞ ⁡ a n b n = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u

Como temos 0 0 podemos usar L’Hospital:

lim m → ∞ ⁡ a n b n = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = lim u → 0 ⁡ cos ⁡ u 1 = 1

Como o limite deu igual a 1, que é maior que zero, as duas séries vão se comportar do mesmo modo.

Portanto, nossa série é condicionalmente convergente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1