Considere a série alternada

∑ k = 1 ∞ - 1 k s e n π k

Escolhe uma ou mais

  1. Definindo f x = s e n π x , para x > 0 tem-se que f ' x =
  2. A sequência a k = s e n π k é decrescente?
  3. lim k → ∞ ⁡ s e n π k = 0 ?
  4. A série converge?

Passo 1

Oi galera, tudo bem por aí? Vamos lá?

O problema deu essa série aqui

∑ k = 1 ∞ - 1 k s e n π k

E pediu para acharmos sua derivada, depois para dizer se o termo geral é decrescente, se o limite é zero e no fim para confirmar se a série é convergente. Mas para que tantos itens?

Porque estamos falando do teste das séries alternadas!

Em resumo o Teste das Séries Alternadas é

Então a ideia é resolver todos os itens (cada um é um dos critérios para convergência) e no final determinar se converge ou não!

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a): A série dada foi essa aqui

∑ k = 1 ∞ - 1 k s e n π k

Assim temos que nosso a k = s e n π k ., então

f x = s e n π x

Agora vamos calcular a derivada! Partiu?

f ' x = cos ⁡ π x . ( - π ) x - 2 = - π x 2 cos ⁡ π x  

Beleza? Sabemos que x é estritamente positivo, então temos que o cosseno vai estar, a partir de k = 2 sempre no primeiro quadrante, onde ele é sempre positivo

- π x 2 cos ⁡ π x < 0

Sendo assim a derivada é sempre negativa! Primeiro critério satisfeito com sucesso!

Passo 3

Letra (b): Nosso próximo passo é determinar se o termo geral é decrescente

a k = s e n π k

Vamos abrir alguns termos para ter certeza disso

a 1 = s e n ( π )

a 2 = s e n π 2

a 3 = s e n π 3

a 4 = s e n π 4

Embora esteja diminuindo de forma bem devagar, mas a função seno se aproxima de zero quando seu argumento é cada vez menor, assim temos que

a 2 > a 3 > a 4 … > a n + 1

Ótimo! Nosso termo geral é decrescente! Segundo critério também é satisfeito!

Partiu avaliar o último critério?

Passo 4

Letra (c): agora precisamos calcular esse limite aqui lim k → ∞ ⁡ s e n π k

lim k → ∞ ⁡ s e n π k = s e n π ∞ = s e n 0 = 0

Oba! Dá zero! Então o terceiro critério para a convergência da série alternada foi satisfeito!!!

Passo 5

Letra (d): recapitulando

f ' x = - π x 2 cos ⁡ π x < 0

a k   é   d e s c r e s c e n t e

lim k → ∞ ⁡ a k = 0

Então a série

∑ k = 1 ∞ - 1 k s e n π k

É convergente!

Beleza? E é isso!

Até a próxima!

Resposta

f ' x = - π x 2 cos ⁡ π x < 0

a k   é   d e s c r e s c e n t e

lim k → ∞ ⁡ a k = 0

c o n v e r g e n t e

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2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1