Exercícios Resolvidos de Série alternada

Questão 3: Para cada uma das séries abaixo verifique se a mesma é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

a )   ∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n n

Passo 1

EPA! Uma série alternada! Então podemos pensar no Teste da série alternada (talvez você conheça como teste de Leibniz ). Mas o nome não importa muito, o que importa é como vamos aplicar esse teste! Vem comigo, então =)

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Passo 2

Bem, o teste nos pede duas condições:

  1. A série tem que ser alternada. Pra nossa alegria ela é! Afinal temos um - 1 n alternando o sinal dos termos.
  2. Segundo, temos que ter o termo ln ⁡ n n sendo maior que 0 , mas ele tem que ser decrescente!

Vaja que se plicarmos o limite...

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n =

Se pensarmos na função como se fosse uma função contínua, podemos aplicar L ' H o p i t a l para calcular o limite mais fácil:

lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 = 0

Agora só resta saber se é um termos decrescente! Vem comigo!

Passo 3

Veja bem que ser decrescente significa necessariamente que a derivada da função contínua correspondente à sequência deve ser negativa:

g x = ln ⁡ x x             →               g ' x = x ⋅ ln ⁡ x ' - ln ⁡ x ⋅ x ' x 2                           →

g ' x = x ⋅ 1 x - ln ⁡ x ⋅ 1 x 2                           →

g ' x = 1 - ln ⁡ x x 2                           →

Para x > e o nominador fica negativo, levando a derivada inteira a ficar negativa também! O significa que se g ' x < 0 a função g x é decrescente! Então a função discreta ln ⁡ n / n também é!

Assim, pelo teste de Leibniz, a série a alternada

∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n n           →             c o n v e r g e

Passo 4

MAS CALMA JOVEM! Não acabamos a análise ainda, pois o nosso problema nos pediu para verificar também quanto à convergência absoluta! Será que a série converge absolutamente?

Lembrando que convergir absolutamente significa...

∑ n = 1 ∞ a n < ∞

No nosso caso, a n é - 1 n ln ⁡ n n ...

∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n n < ∞

Como

- 1 n ln ⁡ n n = - 1 n ⋅ ln ⁡ n n

O módulo - 1 n é sempre 1 , já o ln também pode sair do módulo já que o ele é positivo para valores de n = 1 até !

∑ n = 1 ∞ - 1 n sin ⁡ 1 n = ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

Então perguntar se a série do enunciado converge absolutamente é perguntar se essa série de ln ⁡ n converge. Vamos ver se isso é verdade?

Passo 5

Como esse cara vai a 0 e é decrescente, podemos fazer o teste a da integral, que nos diz que a série só converge se essa integral aqui convergir:

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x d x

Se fizemos uma substituição do tipo...

ln ⁡ x = u         →               d u = 1 x d x

Não se esquecendo de trocar também os limites...

x = 1               →                   u = ln ⁡ 1 = 0

x → ∞               →                   u = ln ⁡ ∞ → ∞

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x d x = ∫ 0 ∞ u d u = u 2 2 0 ∞ ⇒       ∞

Veja que essa integral diverge! Então pelo teste da integral, assim também diverge a série:

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n         →             d i v e r g e

Passo 6

Com isso podemos concluir que a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n n

Converge, mas não absolutamente, ou seja, ela converge apenas condicionalmente, saca?

Resposta

C o n v e r g e   c o n d i c i o n a l m e n t e

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