Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

b ∑ n = 0 ∞ 2 2 n - 1 n - 1 5 n - 1  

Passo 1

Opa pessoal, aqui quem fala é o Rodolpho do Responde Aí, está tudo lá em cima?

Bem, aqui temos uma questão bem padrão de séries.

Para responder essa questão precisamos analisar o termo a n da série, sendo assim:

a n = 2 2 n - 1 n - 1 5 n - 1

Temos um termo que - 1 n + 1 , isso mostra que nossa série é alternada, então precisamos analisar a série com o critério das séries alternadas.

O critério das séries alternadas informa que a série converge absolutamente se:

  1. a n + 1 < a n
  2. a n   = 0

Iae sacou? Podemos começar a colocar a mão na massa?

Então vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos calcular o módulo do termo a n da série, então vamos lá:

a n = 2 2 n - 1 n - 1 5 n - 1 = 2 2 n 5 n - 1 = 5 * 2 2 n 5 n

Agora vamos calcular o termo a n + 1

a n + 1 = 2 2 ( n + 1 ) - 1 n + 1 - 1 5 n - 1 + 1 = 2 2 n + 2 5 n

Agora precisamos verificar a seguinte inequação:

a n + 1 < a n

Gerando a seguinte inequação:

a n + 1 - a n < 0

Para isso, temos que:

2 2 n + 2 5 n - 5 * 2 2 n 5 n = 2 2 n + 2 - 5 * 2 2 n 5 n = 2 2 n 5 n 2 2 - 5 = - 2 2 n 5 n < 0

Aqui temos o primeiro critério do teste das séries alternadas satisfeito.

Passo 3

Agora precisamos calcular a segunda parte do critério das séries alternadas que é dado pelo seguinte limite:

a n   = 2 2 n - 1 n - 1 5 n - 1   = 2 2 n 5 n - 1   - 1 n - 1    

Para resolver o problema precisamos calcular o seguinte limite:

2 2 n 5 n - 1     = 5 * 2 2 n 5 n     = 5 2 2 5 1 n      

Como temos que:

2 2 5 1 < 1

O nosso limite vale:

5 2 2 5 1 n     = 0

Temos um limite que tende a 0 multiplicado por outro que fica oscilando entre 1   e - 1 , portanto:

a n   = 2 2 n - 1 n - 1 5 n - 1   = 2 2 n 5 n - 1   - 1 n - 1     = 0

Resposta

A série é convergente pelos critérios das séries alternadas.

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