Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 5 n + 2 4 n + 1 n

Passo 1

Bem galera, temos aí uma típica série alternada, primeira coisa a se fazer é verificar se ela é absolutamente convergente, ou seja, queremos ver se a série em módulo:

∑ n = 1 ∞ n 5 n + 2 4 n + 1 n

Converge.

O Critério da raiz me parece uma ótima ideia, já que tem uma grande parte da série elevada ao mesmo expoente:

Então temos

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ n 5 n + 2 4 n + 1 n n

Como esse cara dentro do módulo é sempre positivo temos

lim n → ∞ ⁡ n 5 n + 2 4 n + 1 n n = lim n → ∞ ⁡ n n 5 n + 2 4 n + 1

Então fazemos o limite:

lim n → ∞ ⁡ n n 5 n + 2 4 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n 1 n . 5 n + 2 4 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n 1 n lim n → ∞ ⁡ 5 n + 2 4 n + 1

Passo 2

Vamos resolver o primeiro limite:

lim n → ∞ ⁡ n 1 n = ∞ 0

Isso é uma indeterminação meio louca, para resolvermos isso temos que lembrar que

a = e ln ⁡ a

Então

lim n → ∞ ⁡ n 1 n = lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ n n = e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n

Então precisamos do limite

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = ∞ ∞

Isso é uma identerminação que podemos usar L’Hospital

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ' n ' = lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 ∞ = 0

Assim o nosso limite vai ser

lim n → ∞ ⁡ n 1 n = e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = e 0 = 1

Passo 3

Vamos agora para o outro limite

lim n → ∞ ⁡ 5 n + 2 4 n + 1

Isso são dois polinômios, então vamos colocar o maior grau em evidência

lim n → ∞ ⁡ 5 n + 2 4 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n 5 + 2 n n 4 + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 5 + 2 n 4 + 1 n = 5 + 0 4 + 0 = 5 4

Passo 4

Vamos ter

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ n 1 n lim n → ∞ ⁡ 5 n + 2 4 n + 1 = 1 ∙ 5 4 = 5 4

Como esse limite é maior que 1 , essa série diverge pelo teste da raiz

Passo 5

Agora queremos saber se a série é condicionamente convergente.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 5 n + 2 4 n + 1 n

Para isso temos que achar o limite de b n e ver se ele é decrescente, onde

b n = n 5 n + 2 4 n + 1 n

Vamos começar com o limite

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ n 5 n + 2 4 n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ n lim n → ∞ ⁡ 5 n + 2 4 n + 1 n

O primeiro limite vai para , então resta ver se o outro limite vai para alguma coisa diferente de 0 .

Passo 6

Vamos ao limite

Repara que temos

lim n → ∞ ⁡ 5 n + 2 4 n + 1 n = ∞ ∞ ∞

Mil indeterminações né? Vamos começar arrumando o ∞ / ∞ , para isso colocamos o maior grau desses polinômios em eviência

lim n → ∞ ⁡ n 5 + 2 n n 4 + 1 n n = lim n → ∞ ⁡ 5 + 3 n 4 + 2 n n = 5 4 ∞ = ∞

Passo 7

Assim temos

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ n lim n → ∞ ⁡ 5 n + 2 4 n + 1 n = ∞ ∙ ∞ = ∞

E essa série diverge

Resposta

Diverge

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