Determine a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo. Justifique

  1. ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 ( ln ⁡ n ) 2 n

Passo 1

Temos no item (a) uma série alternada, então precisamos considerar as três hipóteses: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, nessa ordem.

Testando a convergência absoluta, temos o seguinte:

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 ( ln ⁡ n ) 2 n = ∑ n = 1 ∞ ( ln ⁡ n ) 2 n

Se a série acima convergir, então nossa série converge absolutamente. Para analisá-la, aplicaremos o teste da comparação:

( ln ⁡ n ) 2 n   ≥   1 n

Como a série harmônica ∑ n = 3 ∞ 1 n diverge, temos que a série dos valores absolutos também

diverge. Conclusão: nossa série não converge absolutamente.

Passo 2

Analisaremos a seguir se ela pode convergir condicionalmente. Para satisfazer essa condição, precisamos descobrir se o limite desse termo vai para 0 e se esse termo é decrescente. Assim, aplicando o Teste das séries alternadas considerando b n   =   ( ln ⁡ n ) 2 n , resolveremos por L´Hospital:

lim n →  ∞ ⁡ b n   =   lim n →  ∞ ⁡ ( ln ⁡ n ) 2 n   =   lim n →  ∞ ⁡ 2 ln ⁡ ( n ) n   =   lim n →  ∞ ⁡ 2 n =   0 .

Feito isso, estudaremos a monotonia da função f ( x )   =   l n 2 ( x ) x por meio da derivada da f:

f ´ x =   ln ⁡ x ( 2 - ln ⁡ x ) x 2

Observe que para x   > e 2 , 2 - ln ⁡ x < 0 , então f é decrescente em ( e 2 , ). Logo, a série é condicionalmente convergente.

Resposta

  1. Série converge condicionalmente

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2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1