Exercícios Resolvidos de Série alternada

Estudar a convergência ou divergência de cada uma das séries a seguir. Em caso de convergência, classificar a mesma em condicional ou absoluta.

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n      

Passo 1

Como é uma série alternada teremos que usar o Critério de Leibniz. Onde teremos.

b n = 1 n ln ⁡ n

b n + 1 = 1 ( n + 1 ) ln ⁡ n + 1

Temos que pra série convergir

  b n + 1 ≤ b n   p a r a   t o d o   n lim n → ∞ ⁡ b n = 0                                            

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Passo 2

Temos que para todo n ≥ 2

n + 1 ln ⁡ ( n + 1 ) ≥ n ln ⁡ n

Logo b n + 1 ≤ b n . Calculando o limite de b n .

lim n → ∞ ⁡ b n =   lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n   = 0

Disso temos que a série converge, basta saber se converge de forma condicional ou absoluta.

Passo 3

Nós sabemos que essa série vai convergir se a série dos valores absolutos convergir, ou seja, se a série abaixo convergir

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

Pra descobrir essa convergência nós vamos realizar o teste da integral e pra isso temos que a integral abaixo deve convergir.

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x d x

Para isso, vamos arrumar essa integral imprópria

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 x ln ⁡ x d x

Passo 4

Vamos resolver aquela integral separada

∫ 2 a 1 x ln ⁡ x d x

Realizando a seguinte mudança de variável

ln ⁡ x = s ,     1 x d x = d s

Temos que mudar os limites de integração também

x = 2 → s = ln ⁡ 2

x = a → s = ln ⁡ a

∫ 2 a 1 x ln ⁡ x d x = ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ a 1 s d s = ln ⁡ s   ln ⁡ 2 ln ⁡ a = ln ⁡ ln ⁡ a - ln ⁡ ln ⁡ 2

Passo 5

Agora devemos fazer o nosso limite

lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ a - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ln ⁡ ln ⁡ ∞ - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ∞

Logo a série dos valores absolutos diverge e a nossa série converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente

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