Exercícios Resolvidos de Série alternada

Passo 1

Trata-se de uma série alternada, então devemos usar o critério de Leibniz. Assim vamos ver se a sequência é decrescente e seu termo geral tende a zero.

lim n → ∞ ⁡ a n =   lim n → ∞ ⁡ 1 2 n - 1 ! = 0  

Primeiro critério atendido.

a n + 1 = 1 2 n + 1 ! = a n 2 n + 1 2 n

Segundo critério também atendido, logo a série converge absolutamente.

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Passo 2

Vamos agora aproximar a série para que e r r o <   2 ⋅ 10 - 4 . Para as séries alternadas nós temos:

e r r o = ∑ n = k + 1 ∞ a n < | a k + 1 |

E o melhor, isso vale sempre! Então basta que encontremos um valor de k tal que:

a k + 1 <   2 ⋅ 10 - 4

Agora ficou mais simples, não é mesmo?

Passo 3

Vamos enão calcular o valor desse k :

a k + 1 <   2 ⋅ 10 - 4 ⟹ 1 2 k + 1 ! <   2 ⋅ 10 - 4 ⟹ 2 k + 1 ! > 0,5 ⋅ 10 4

Testando valores para essa desigualdade vemos que:

7 ! > 5000 ⟹ k = 3

Assim, podemos aproximar a série para três termos. Então:

∑ k = 1 3 a k = 1 - 1 3 ! + 1 5 !

Resposta

1 - 1 3 ! + 1 5 !

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