Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

  1. ∑ n = 2 - 1 n n 2 3 l n ⁡ ( n )

Passo 1

Opa pessoal, aqui quem fala é o Rodolpho do Responde Aí, está tudo lá em cima?

Bem, aqui temos uma questão bem padrão de séries.

Para responder essa questão precisamos analisar o termo a n da série, sendo assim:

a n = - 1 n n 2 3 l n ⁡ ( n )

Temos um termo que - 1 n + 1 , isso mostra que nossa série é alternada, então precisamos analisar a série com o critério das séries alternadas.

O critério das séries alternadas informa que a série converge absolutamente se:

  1. a n + 1 < a n
  2. a n   = 0

Iae sacou? Podemos começar a colocar a mão na massa?

Então vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos calcular o módulo do termo a n da série, então vamos lá:

a n = - 1 n n 2 3 l n ⁡ ( n )

Como temos que o n ≥ 2   p o d e m o s   d i z e r   q u e   o l n l n   n   > 0 , logo:

a n = - 1 n n 2 3 l n ⁡ ( n ) = l n ⁡ ( n ) n 2 3

Agora vamos calcular o termo a n + 1

a n + 1 = - 1 n + 1 ( n + 1 ) 2 3 l n ⁡ ( n + 1 ) = l n ⁡ ( n + 1 ) ( n + 1 ) 2 3

Agora precisamos verificar a seguinte inequação:

a n + 1 < a n

Gerando a seguinte inequação:

a n + 1 - a n < 0

Para isso, temos que:

l n l n   n + 1   n + 1 2 3 - l n l n   n   n 2 3

Analisando a expressão temos que o l n l n   n + 1   cresce na mesma ordem de grandeza de l n l n   n   e a ordem de grandeza do n + 1 2 3 é maior que a do n 2 3 , portanto temos que:

l n l n   n + 1   n + 1 2 3 - l n l n   n   n 2 3 = a n + 1 - a n < 0

Passo 3

Agora precisamos calcular a segunda parte do critério das séries alternadas que é dado pelo seguinte limite:

a n   = - 1 n n 2 3 l n ⁡ ( n )   = l n ⁡ ( n ) n 2 3   - 1 n    

Para resolver o problema precisamos calcular o seguinte limite:

l n ⁡ ( n ) n 2 3    

Analisando temos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ utilizando o teorema de l’hospital temos que:

l n ⁡ ( n ) n 2 3 =     1 / n 2 3 n - 1 3     = 3 2 n 1 3 n = 3 2 n - 2 3       = 3 2 n 2 3     = 0

Resposta

A série é convergente pelos critérios das séries alternadas.

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