Determine a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo. Justifique.

(a) ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n l n n n + 2 3 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindx! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos uma série e basicamente temos que determinar se a série diverge, converge ou converge absolutamente.

As series que temos que analisar é ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n l n n n + 2 3 .

Esta é uma série alternada por conta do termo - 1 n + 1 então para esse caso podemos usar o teste da série alternada para verificar sua divergência.

Mas você tá sabendo que teste é esse? 🤔

No teste da série alternada temos que verificar dois requisitos. Se a série for do tipo

∑ k = 1 ∞ - 1 k a k

a k deve ser maior ou igual a a k + 1 para todo intervalo n , ∞ e lim k → ∞ ⁡ a k = 0 , se essas hipóteses forem satisfeitas, a serie converge.

Preparadx?

Bora começar!

Passo 2

Vamos começar com a primeira série

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n l n n n + 2 3

Vamos ignorar o termo - 1 n + 1 e verificar se seus termos são maiores que a n + 1 , ou seja, se a n é decrescente.

Lembrando que nosso a n é dado por

a n = n l n n n + 2 3

Escrevendo em números reais, temos

Com isso, vemos que no intervalo 3 , ∞ os termos da série decrescem

Quando temos um intervalo que inicia próximo ao início da série em que os termos começam a decrescer, podemos considerar que a n decresce.

Entendeu essa parte? 😁

Passo 3

Agora temos que verificar o limite de a n .

lim n → ∞ ⁡ n l n n n + 2 3

Se esse limite resultar em 0 a serie converge.

Vamos torcer!

Se substituirmos n → ∞ direto, vamos ter

∞ l n ∞ ∞ + 2 3 = ∞ ∞

Temos uma indeterminação, então vamos aplicar a regra de L ' H o p i t a l derivando o numerador e o denominador de a n .

d n l n n d n d n + 2 3 d n

Pela regra do produto e lembrando que a derivada de ln ⁡ x = 1 / x , temos

d n l n n d n = d n d n · l n n + n · d l n n d n

d n l n n d n = l n n + n 1 n = ln ⁡ n + 1

Já o denominador pode ser obtido pela regra da cadeia substituindo n + 2 por u

d n + 2 3 d n = d n + 2 d n · d u 3 d u

d n + 2 3 d n = 1 · 3 u 2

Substituindo u por n + 2 de volta

d n + 2 3 d n = 3 n + 2 2

Com isso, temos

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 3 n + 2 2

Ainda não podemos substituir pois vai dar uma indeterminação novamente.

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Então vamos aplicar L ' H o p i t a l novamente!

d ln ⁡ n + 1 d n d 3 n + 2 2 d n

Já vimos que a derivada de ln ⁡ n = 1 / n , então a derivada do numerador será

d ln ⁡ n + 1 d n = 1 n

Já pela regra da cadeia novamente fazendo n + 2 = u , a derivada do denominador será

d 3 n + 2 2 d n = d n + 2 d n · d 3 u 2 d u

d 3 n + 2 2 d n = 1 · 6 u

Voltando n + 2 para a resposta

d 3 n + 2 2 d n = 6 n + 2

Agora temos o seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ 1 n 6 n + 2

Agora sim se substituirmos n por , o numerador do limite tenderá a 0 e o denominador vai para o infinito, ou seja

lim n → ∞ ⁡ 1 n 6 n + 2 = 1 ∞ 6 ∞ + 2 = 0

O limite de a n da série é igual a 0 e durante o intervalo 3 , ∞ os termos da série decrescem.

Logo os requisitos do teste da serie alternada são satisfeitos, ou seja.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n l n n n + 2 3 = C o n v e r g e   A b s o l u t a m e n t e

Interessante, não é? 😁

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a) ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n l n n n + 2 3 = C o n v e r g e   A b s o l u t a m e n t e

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