Considere a série alternada

∑ k = 1 ∞ k   s e n 2 k + 1 π 3 k

Escolhe uma ou mais

  1. Definindo f x = x 3 x , para x > 0 tem-se que f ' x =
  2. A sequência a k = k 3 k é decrescente para k ≥ 2 ?
  3. lim k → ∞ ⁡ k 3 k = 0 ?
  4. A série converge?

Passo 1

Oi galera, tudo bem por aí? Vamos começar?

O problema deu essa série aqui

∑ k = 1 ∞ k   s e n 2 k + 1 π 3 k

E pediu para acharmos sua derivada, depois para dizer se o termo geral é decrescente, se o limite é zero e no fim para confirmar se a série é convergente. Mas para que tantos itens?

Porque estamos falando do teste das séries alternadas!

Em resumo o Teste das Séries Alternadas é

Então a ideia é resolver todos os itens (cada um é um dos critérios para convergência) e no final determinar se converge ou não!

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a): A série dada foi essa aqui

∑ k = 1 ∞ k   s e n ( 2 k + 1 ) π 3 k = ∑ k = 1 ∞ s e n ( 2 k + 1 ) π k 3 k

Assim temos que nosso a k = k 3 k ., então

f x = x 3 x

Agora vamos calcular a derivada! Partiu?

f ' x = 1.3 x - 3 x ln ⁡ 3 3 2 x = 1 - ln ⁡ 3 3 x  

Beleza? Sabemos que x é estritamente positivo, então o denominador é sempre positivo. Agora olhando o numerador vemos que

1 - ln ⁡ 3 < 0

E que deixa tudo negativo! Sendo assim a derivada é sempre negativa! Primeiro critério satisfeito com sucesso!

Passo 3

Letra (b): Nosso próximo passo é determinar se o termo geral é decrescente

a k = k 3 k

Vamos abrir alguns termos para ter certeza disso

a 1 = 1 3

a 2 = 2 9

a 3 = 3 27

a 4 = 4 81

Como temos uma exponencial embaixo, os termos vão diminuindo bem rapidamente, assim temos que

a 1 > a 2 > a 3 > a 4 … > a n + 1

Ótimo! Nosso termo geral é decrescente! Segundo critério também é satisfeito!

Partiu avaliar o último critério?

Passo 4

Letra (c): agora precisamos calcular esse limite aqui lim k → ∞ ⁡ k 3 k

lim k → ∞ ⁡ k 3 k = ⏝ ∞ ∞ → L ' H lim k → ∞ ⁡ k ' 3 k ' = lim k → ∞ ⁡ 1 3 k ln ⁡ 3 = 1 ∞ = 0

Oba! Dá zero! Então o terceiro critério para a convergência da série alternada foi satisfeito!!!

Passo 5

Letra (d): recapitulando

f ' x = 1 - ln ⁡ 3 3 x < 0

a k   é   d e s c r e s c e n t e

lim k → ∞ ⁡ a k = 0

Então a série

∑ k = 1 ∞ k   s e n 2 k + 1 π 3 k

É convergente!

Terminamos! Bora treinar mais?

Resposta

f ' x = 1 - ln ⁡ 3 3 x < 0

a k   é   d e s c r e s c e n t e

lim k → ∞ ⁡ a k = 0

c o n v e r g e n t e

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2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1