Faça o que se pede:

Á série ∑ n = 2 ∞ - 1 n + 1 l n ⁡ ( n ) ́ e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?

Passo 1

Opa pessoal, aqui quem fala é o Rodolpho do Responde Aí, está tudo lá em cima?

Bem, aqui temos uma questão bem padrão de séries.

Para responder essa questão precisamos analisar o termo a n da série, sendo assim:

a n = - 1 n + 1 l n ⁡ ( n )

Temos um termo que - 1 n + 1 , isso mostra que nossa série é alternada, então precisamos analisar a série com o critério das séries alternadas.

O critério das séries alternadas informa que a série converge absolutamente se:

  1. a n + 1 < a n
  2. a n   = 0

Iae sacou? Podemos começar a colocar a mão na massa?

Então vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos calcular o módulo do termo a n da série, então vamos lá:

a n = - 1 n + 1 l n ⁡ ( n )

Como temos que o n ≥ 2   p o d e m o s   d i z e r   q u e   o l n l n   n   > 0 , portanto:

a n = - 1 n + 1 l n ⁡ ( n ) = 1 l n ⁡ ( n )

Agora vamos calcular o termo a n + 1

a n + 1 = - 1 n + 1 + 1 l n ⁡ ( n + 1 ) = 1 l n ⁡ ( n + 1 )

Agora precisamos verificar a seguinte inequação:

a n + 1 < a n

Para isso temos que:

a n + 1 - a n < 0

Portanto temos que:

1 l n ⁡ ( n + 1 ) - 1 l n l n   n   = l n l n   n   - l n l n   n + 1   l n l n   n + 1   l n l n   n   = l n l n   n n + 1   l n l n   n + 1   l n ⁡ ( n )

Analisando e usando a informação que n ≥ 2   p o d e m o s   d i z e r   q u e   o n   > 0 , porém temos que l n l n   n n + 1 < 0   , pois, n n + 1 < 1 .

Logo podemos concluir que:

a n + 1 - a n = l n l n   n n + 1   l n l n   n + 1   l n ⁡ ( n ) < 0

Que confirma a primeira hipótese.

Passo 3

Para verificar a segunda hipótese temos que:

a n   = - 1 n + 1 l n ⁡ ( n )  

E para resolver esse limite precisamos da seguinte propriedade de limites:

- 1 n + 1 l n ⁡ ( n )   = 1 l n ⁡ ( n ) *   - 1 n + 1 1  

O nosso primeiro limite vai para 0, pois o l n ⁡ ( n ) cresce para infinito, já o segundo fica oscilando entre - 1   e   1 . Logo, temos que:

- 1 n + 1 l n l n   n     = 1 l n l n   n   *   - 1 n + 1 1   = 0

Resposta

Como temos que as condições são satisfeitas, a série é convergente absolutamente pelos critérios das séries alternadas.

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