11 - Quais das séries alternadas convergem e quais divergem?

e) ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 1 ln ⁡ n

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos saber se a serie alternada dada por ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 1 ln ⁡ n converge ou diverge.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Pra responder essa pergunta podemos aplicar o teste das series alternadas...

Dada uma série genérica

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Podemos dizer que tal serie converge se:

- a n converge;

- Se a n for decrescente e se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Se nenhuma dessas colocações forem satisfeitas, então a serie diverge.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, a n = 1 ln ⁡ n .

Podemos verificar se a n converge a partir do segundo caso de convergência...

Primeiro vamos verificar se lim n → ∞ ⁡ a n = 0

lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n

Fazendo n → ∞ , vemos que ln ⁡ n tende a

lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n = 1 ∞ = 0

Como ln ⁡ n aumenta conforme n aumenta, então a n é decrescente.

Portanto, como lim n → ∞ ⁡ a n = 0 foi satisfeito e a n é decrescente, então a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 1 ln ⁡ n converge.

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

Converge.

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