A série

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 3 5 n 2 + 3 n + 2

É

a) condicionalmente convergente

b) absolutamente convergente

c) divergente

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos saber se a série dada converge condicionalmente, absolutamente ou se não converge...

No caso, a série é dada por

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 3 5 n 2 + 3 n + 2

E aí! Tem ideia do que podemos fazer? 🤔🤔

A primeira coisa que temos que fazer nesses casos é analisar a série de modo a encontrarmos alguma característica importante da série.

Nesse caso, vemos que o termo - 1 n nos diz que essa é uma serie alternada.

Portanto, para verificar a convergência dessa série, partimos para o teste das séries alternadas.

Dada uma série alternada dada por ∑ n = 1 ∞ - 1 n a n , se os termos de a n decrescem e se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 , então a série converge absolutamente.

Pronto? Bora começar! 😎

Passo 2

Vamos verificar o primeiro quesito, se os termos de a n decrescem.

Escrevendo os primeiros termos, temos a n = 2 n + 3 5 n 2 + 3 n + 2

a 1 = 2 1 + 3 5 1 2 + 3 1 + 2 = 5 10

a 2 = 2 2 + 3 5 2 2 + 3 2 + 2 = 7 28

a 3 = 2 3 + 3 5 3 2 + 3 3 + 2 = 3 56

a 4 = 2 4 + 3 5 4 2 + 3 4 + 2 = 11 94

Perceba que a velocidade com que o numerador aumenta, é muito menor com que o denominador aumenta. Portanto podemos afirmar que a cada termo, seu valor é menor que o termo anterior, logo, os termos de a n são decrescentes.

O primeiro quesito está satisfeito! Bora continuar 😁

Passo 3

Agora temos que verificar se o limite de a n para n → ∞ é igual a 0

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 5 n 2 + 3 n + 2

Se substituirmos n por logo de cara, vamos cair em uma indeterminação ∞ ∞ .

Então para contornar esse problema, vamos aplicar L ' H o p i t a l derivando o numerador e o denominador.

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 5 n 2 + 3 n + 2 → lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 3 10 n + 3

Simplificando...

lim n → ∞ ⁡ 1 10 n + 3 2 n + 3

Agora sim! Substituindo n por , temos

lim n → ∞ ⁡ 1 10 n + 3 2 n + 3 = 1 ∞ = 0

Como temos um número muito pequeno sendo dividido por um número muito grande, o resultado é um número tão pequeno que tende para 0 .

Com isso, o segundo critério também é satisfeito, ou seja, a série converge absolutamente!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

b) absolutamente convergente

Exercícios de Livros Relacionados

2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1