Quais das seguintes séries convergem apenas condicionalmente?

i   ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n

i i ∑ n = 1 ∞ s e n   n 3 n 2

i i i   ∑ n = 1 ∞ - 1 n n n 3 + 5

i v   ∑ n = 1 ∞ - 1 n cosh ⁡ n

Escolha uma opção:

a) (i) e (ii)

b) (ii) e (iv)

c) (ii), (iii) e (iv)

d) (i) e (iv)

e) apenas (i)

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Prontos para uma questão de séries?

Das quatro séries fornecidas, temos que identificar aquelas que convergem apenas condicionalmente. Mas o que isso significa?

Repare que as séries são praticamente todas alternadas por causa do - 1 n . A série (ii) também vai ter um comportamento alternado pois o s e n   n 3 também vai oscilar de sinal. Para essas séries alternadas pode acontecer uma coisa: a série alternada converge, mas a série “absoluta” não converge.

A série absoluta é a série que se obtém tomando-se o módulo de cada termo, eliminando o fator - 1 n que faz o sinal dos termos oscilar. Quando isso, acontece (a série alternada converge, mas a série “absoluta” não), dizemos que a série converge apenas condicionalmente.

Desta forma, temos que procurar aquelas séries alternadas que convergem, mas que, quando tomamos os módulos dos termos, diverge!

Para verificar a convergência das séries alternadas, existe um critério muito útil chamado “critério das séries alternadas”. Considere uma série do tipo

∑ n = 1 ∞ - 1 n   b n

Se b n + 1 < b n para todo n e

lim n → ∞ ⁡ b n = 0 ,

então a série alternada converge.

Passo 2

Vamos olhar para a primeira série:

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n   a n ,               a n = 1 n ln ⁡ n

Quando n → ∞ , temos que

n ln ⁡ n → ∞

Desta forma,

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Além disso, n + 1 > n e ln ⁡ n + 1 > ln ⁡ n , de modo que

n + 1 ln ⁡ n + 1 > n ln ⁡ n → 1 n + 1 ln ⁡ n + 1 < 1 n ln ⁡ n

Ou ainda,

a n + 1 < a n

Como a n satisfaz os dois critérios mencionados acima, a série alternada (i) é convergente! Resta verificar agora o que acontece com a série “absoluta”:

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

Para ver se essa série converge ou diverge, vamos usar o teste da integral e calcular

I = ∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x   d x

Se a integral imprópria convergir, a série será convergente. Caso contrário, será divergente. Primeiro calculamos a primitiva fazendo u = ln ⁡ x → d u = d x / x :

∫ 1 x ln ⁡ x   d x = ∫ 1 u   d u = ln ⁡ u = ln ⁡ ln ⁡ x

Com isso, a integral imprópria fica

I = lim t → ∞ ⁡ ∫ 2 t 1 x ln ⁡ x   d x = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x 2 t

I = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ t - ln ⁡ ln ⁡ 2

Quando t → ∞ , ln ⁡ t → ∞ e ln ⁡ ln ⁡ t → ∞ , de modo que a integral diverge. Desta forma, a série absoluta também diverge.

Como a série alternada converge e a série absoluta diverge, a série (i) satisfaz a condição pedida no enunciado! Repare que com essa informação e analisando as alternativas, a gente nem precisa olhar para a série (iii)!

Passo 3

Para a série (ii), vamos olhar direto para a série absoluta:

∑ n = 1 ∞ s e n   n 3 n 2 = ∑ n = 1 ∞ s e n   n 3 n 2

Chamando o termo geral dessa série de b n , temos que

b n ≤ 1 n 2 ,                   p o i s       s e n   n 3 ≤ 1

Com isso, o teste da comparação será bem útil aqui! Só lembrando ele, se b n < a n para todo n e a série ∑ a n converge, então a série ∑ b n também converge.

Nesse caso, temos a n = 1 / n 2 , que é uma p-série com p = 2 :

a n = 1 n p ,         p = 2

Toda p-série com p > 1 converge, de modo que ∑ a n converge. Usando o teste da comparação, temos que ∑ b n também converge. Logo, a série (ii) converge absolutamente, não satisfazendo a condição do enunciado. Com isso, ficamos em dúvida apenas entre as alternativas D e E.

Passo 4

Para concluir o problema, só nos resta ver a série (iv):

∑ n = 1 ∞ - 1 n cosh ⁡ n

Vamos olhar para a série “absoluta”:

∑ n = 1 ∞ - 1 n cosh ⁡ n = ∑ n = 1 ∞ 1 cosh ⁡ n

Vale lembrar que cosh ⁡ x > 0 , de modo que cosh ⁡ n = cosh ⁡ n . Outra relação que vai ser útil para gente é

cosh ⁡ n > n 2 ,

para n suficientemente grande. n > 2 já da conta do recado. Isso ocorre pois

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Quando x cresce, a exponencial cresce mais rapidamente que x 2 . Desta forma, para n > 2 , temos

1 cosh ⁡ n < 1 n 2

Vamos chamar novamente o teste da comparação: se b n < a n e a série superior ∑ a n converge, então a série inferior converge também. Já vimos no passo anterior que a p-série com p > 1 é convergente, de modo que

∑ n = 1 ∞ 1 cosh ⁡ n

é convergente. Isso faz com que a série (iv) seja absolutamente convergente, não satisfazendo a condição do enunciado do problema!

Desta forma, a única série que converge apenas condicionalmente é a série (i), o que nos leva para a alternativa E 😊!

Resposta

Alternativa E.

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