Exercícios Resolvidos de Série alternada

Séries Alternadas

a) Diga se as séries abaixo convergem ou divergem. No caso da série convergir, calcule o valor da soma.

∑ n = 0 ∞ 2 - 1 n 4 n ,                 ∑ n = 0 ∞ 4 - 1 n 2 n

b) Diga se a série abaixo converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ - 20 n 2 n !

c) Dê um exemplo de uma série que converge, mas não converge absolutamente.

d) Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa:

Se as séries ∑ n = 0 ∞ a n e ∑ n = 0 ∞ b n divergem então a série ∑ n = 0 ∞ ( a n + b n )   diverge.

Passo 1

  1. Para verificar que as séries convergem vamos usar o teste da série alternada.

Bom, como

4 n + 1 ≥ 4 n

e

2 n + 1 ≥ 2 n

Temos que

1 4 n + 1 = a n + 1 ≤ a n = 1 4 n

e

1 2 n + 1 = b n + 1 ≤ b n = 1 2 n

E como

lim n → ∞ ⁡ 1 4 n = 0 = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n

Temos que as duas séries convergem.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcular a sua soma, fazemos

∑ n = 0 ∞ 2 - 1 n 4 n = 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 4 n

E

∑ n = 0 ∞ 4 - 1 n 2 n = 4 ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n

Bom, ambas representam PG de razão - 1 4 e - 1 2 , respectivamente.

Então

2 ∑ n = 0 ∞ - 1 4 n = 2 1 + 1 4 = 2 ⋅ 4 5 = 8 5

E

4 ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n = 4 1 + 1 2 = 4 ⋅ 2 3 = 8 3

Passo 3

b) Para ver que a série acima converge, reescreveremos ela da seguinte forma:

∑ n = 1 ∞ - 20 n 2 n ! = ∑ n = 1 ∞ 20 n - 1 n 2 n !

E portanto usaremos o teste da série alternada.

E vemos que

b n + 1 = 20 n + 1 2 n + 2 ! = 20 ⋅ 20 n 2 n + 2 2 n + 1 2 n ! = 20 n 2 n ! ⋅ 20 2 n + 2 2 n + 1 = b n ⋅ 20 2 n + 2 2 n + 1 ≤ b n

E

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 20 n 2 n ! = 0

Já que o fatorial cresce muito mais rápido que a exponencial.

Então temos que a série converge.

Passo 4

c) Bom, se você tomar a série

∑ n = 0 ∞ - 1 n n

Pelo teste da série alternada você descobre que ela converge pois

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

E

b n + 1 = 1 n + 1 ≤ 1 n = b n .

Mas a série

∑ n = 0 ∞ | - 1 n n | = ∑ n = 0 ∞ 1 n  

Não converge como sabemos da teoria.

Passo 5

d) A afirmação é falsa! Tome as séries

∑ n = 1 ∞ 4 n + 2   ,         ∑ n = 0 ∞ - 4 n + 3

Ambas as séries divergem, por serem variações da série harmônica

∑ n = 0 ∞ 1 n

Mas

∑ n = 1 ∞ 4 n + 2 - 4 n + 3 = 4 3 - 4 4 + 4 4 - 4 5 + 4 5 - 4 6 + … + 4 N + 2 - 4 N + 3 = 4 3 + - 4 4 + 4 4 + - 4 5 + 4 5 + … + - 4 N + 2 + 4 N + 2 + - 4 N + 3 + 4 N + 3

Daí ficamos com

∑ n = 0 ∞ 4 n + 2 - 4 n + 3 = 4 3

Resposta

a)

∑ n = 0 ∞ 2 - 1 n 4 n = 8 5

∑ n = 0 ∞ 4 - 1 n 2 n = 8 3

b)

Converge.

c)

∑ n = 0 ∞ - 1 n n

d)

Afirmação falsa.

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