Determine se a série converge condicionalmente ou absolutamente ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 3 n 1 n - 1 n 5 n + 1

Passo 1

Bem galera vamos começar olhando a convergência absoluta dessa série.

O Critério da raiz me parece uma ótima ideia, já que tem uma grande parte da série elevada ao mesmo expoente:

a n = 3 n 1 n - 1 n 5 n + 1

Então temos

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ 3 n 1 n - 1 n 5 n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 3 n 1 n - 1 n 5 n + 1 n =

lim n → ∞ ⁡ 3 n 1 n - 1 5 n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 3 n 1 n - 1 5 n 1 + 1 5 n n = lim n → ∞ ⁡ 3 n 1 n - 1 5 ∙ 1 + 1 5 n n

Preciamos achar o limite de

Passo 2

Vamos resolver o primeiro limite:

lim n → ∞ ⁡ n 1 n = ∞ 0

Isso é uma indeterminação meio louca, para resolvermos isso temos que lembrar que

a = e ln ⁡ a

Então

lim n → ∞ ⁡ n 1 n = lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ n n = e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n

Então precisamos do limite

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = ∞ ∞

Isso é uma identerminação que podemos usar L’Hospital

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ' n ' = lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 ∞ = 0

Assim o nosso limite vai ser

lim n → ∞ ⁡ n 1 n = e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = e 0 = 1

Passo 3

Vamos ter

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ 3 n 1 n - 1 5 ∙ 1 + 1 5 n n = 3.0 - 1 5 ∙ 1 + 0 n = 3.1 - 1 5 = 2 5

Como esse limite é menor que 1 , essa série converge pelo teste da raiz

Como o teste da raiz pega o modulo do cara não faz diverença ser a n ou a n , assim se a série converge ela converge absolutamente, se ela diverge ela diverge mesmo.

Assim a nossa série converge absolutamente.

Resposta

Converge absolutamente

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Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1