4 – Determine se a seguinte série alternada converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Justifique sua resposta.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos obter a convergência da série, ou seja, temos que mostrar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.

Lembra como fazemos isso? 🤔

Nesses casos, temos que analisar a série que foi dada e tentar ver alguma característica que poderá nos auxiliar a escolher o melhor método que podemos usar pra obter a convergência da série.

Se isso não acontecer, o que temos que fazer é partir para a tentativa e erro...

Bora lá! 😁

Passo 2

Analisando a série vemos uma característica interessante... o termo - 1 n + 1

Com esse termo, vemos que a série é na verdade uma série alternada, portanto pra isso vamos aplicar o teste da série alternada!

Esse método consiste em verificar dois requisitos...

Primeiro a n deve decrescer e segundo, o lim n → ∞ ⁡ a n deve ser igual a 0

Bora lá!

Se a n = - 1 n + 1 n , então a n = 1 n .

Vamos escrever os primeiros termos de a n para ver se eles decrescem

∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 2 + 1 5 + 1 6 + 1 7 …

Perceba que quanto mais o n passa, maior é o denominador e, portanto, menor é o resultado.

Portanto o primeiro critério é verdadeiro!

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Agora vamos para o segundo critério.

Calculando o limite de a n , temos

lim n → ∞ ⁡ 1 n

Substituindo n por , vemos que a fração vai a 0 pois o denominador vai a um valor muito alto.

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Portanto, o segundo critério também é verdadeiro!

Por esse teste, vemos que a série converge absolutamente

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Converge absolutamente.

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2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1