Questão 1 (Justifique todas as suas respostas):

Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.

a )     ∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 1 - n

Passo 1

Estamos diante aqui de uma série alternada, logo podemos usar o teste da série alternada. Temos então que verificar se...

  1. n + 1 - n vai ou não a 0 quando n estiver indo para o infinito.
  2. E se ele é decrescente.

Se estas duas coisas estiverem ok, podemos dizer que a série converge! Vamos verificar?

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite e ver se vaio ou não a 0 ...

lim n → ∞ ⁡ n + 1 - n

Ora, no infinito, esse número 1 se torna desprezível perto de n , logo, quanto maior n ...

n + 1 ≅ n

Então...

lim n → ∞ ⁡ n + 1 - n = 0

Saca?

Passo 3

Agora vamos ver se ele é decrescente ou não! Bem, sabemos que uma sequência a n é decrescente se a derivada dela com relação a n for menor que 0 .

Ora, a sequência a n é a sequência que estamos analisando:

a n = n + 1 - n

Derivando com relação a n :

d a n d n = d d n n + 1 - n →

d a n d n = 1 2 n + 1 - 1 2 n

Colocando essa fração sobre o mesmo denominador:

d a n d n = n 2 n ⋅ n + 1 - n + 1 2 n ⋅ n + 1   →

d a n d n = n - n + 1 2 n ⋅ n + 1

Repare que n é menor que n + 1 , já que n é positivo. E como o denominador é positivo, essa fração de fato será negativa:

n - n + 1 2 n ⋅ n + 1 < 0

Ou seja:

d a n d n < 0

Sabemos que se essa derivada é menor que 0 , etão é poruqe de fato a n é decrescente com n !

Passo 4

Conclusão:

Se essa série está satisfazendo os dois critérios do teste da série alternada, então é porque ela converge!

Resposta

Converge.

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