Exercícios Resolvidos de Série alternada

Passo 1

Bem galera, temos aí uma típica série alternada, primeira coisa a se fazer é verificar se ela é absolutamente convergente, ou seja, queremos ver se a série

∑ n = 1 ∞ n 3 n - 1 2 n - 1

Converge.

Vamos aplicar o critério da razão para analizarmos sua convergência, ok?

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = n + 1 3 n + 2 2 n + 1 3 n - 1 n 2 n - 1 = n + 1 3 n + 1 2 n + 1 n 2 n - 1 3 n - 1 3 n + 2 2 n - 1    

Vamos agora analisar o limite de cada um desses termos, ok?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  1. l i m n → ∞ n + 1 3 n + 1 2 = 1 9
  2. l i m n → ∞ n + 1 n 2 n - 1 = l i m n → ∞ e ( 2 n - 1 ) l n n + 1 n = e 2  
  3. Vamos ver o porquê desse valor. Veja:

    l i m n → ∞ 2 n - 1 ln ⁡ n + 1 n

    Fazendo u = 1 n :

    l i m u → 0 ln ⁡ l n 1 + u u 2 - u

    Aplicando L’Hopital:

    l i m u → 0 ln ⁡ 1 1 + u 2 - u + u 2 - u 2 = 2

    Logo

    l i m n → ∞ n + 1 n 2 n - 1 = e 2

  4. l i m n → ∞ 3 n - 1 3 n + 2 2 n - 1 = l i m n → ∞ e ( 2 n - 1 ) l n 3 n + 1 3 n - 2   = e - 2

Esse limite é análogo ao do item anterior, então:

l i m n → ∞ 2 n - 1 ln ⁡ 3 n + 1 3 n - 2

Fazendo u = 1 n :

l i m u → 0 ln ⁡ l n 3 - u 3 + 2 u u 2 - u

Aplicando L’Hopital:

l i m u → 0 ln ⁡ 3 + 2 u 3 - u ⋅ - 3 + 2 u - 3 - u ⋅ 2 3 + 2 u 2 2 - u + u 2 - u 2 = - 2

Logo

l i m n → ∞ 3 n - 1 3 n + 2 2 n - 1 = e - 2

Assim, voltando ao teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 9 ⋅   e 2 ⋅ e - 2 = 1 9 < 1

Logo a série converge absolutamente pelo método da razão.

Resposta

Absolutamente convergente.

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