Considere as séries:

A   ∑ n = 3 ∞ 1 n   ln ⁡ n 3

B   ∑ n = 3 ∞ - 1 n 1 n   ln ⁡ n 3

C   ∑ n = 3 ∞ s e n   n 1 n   ln ⁡ n 3

Podemos afirmar que:

a) As três séries (A), (B) e (C) são convergentes.

b) A série (A) é divergente, a série (B) é condicionalmente convergente e a série (C) é divergente.

c) A série (A) é divergente e ambas as séries (B) e (C) são convergentes.

d) As três séries (A), (B) e (C) são divergentes.

e) A série (A) é convergente, a série (B) é convergente, e a série (C) é divergente.

Passo 1

Fala galera, bora fazer uma questão de prova da POLI!

Nessa questão temos três séries e temos que ver quais delas são convergentes. Vamos começar pela primeira:

A   ∑ n = 3 ∞ 1 n   ln ⁡ n 3

Para ver se essa série converge ou diverge, usamos o teste da integral:

I = ∫ 3 ∞ 1 x   ln ⁡ x 3   d x

Primeiro temos que calcular a primitiva fazendo a substituição u = ln ⁡ x . Assim,

d u = 1 x d x

Portanto,

∫ 1 x   ln ⁡ x 3   d x = ∫ 1 u 3 d u

Fazendo a integração, obtemos

∫ 1 x   ln ⁡ x 3   d x = - 1 2 u 2

Substituindo u = ln ⁡ x :

∫ 1 x   ln ⁡ x 3   d x = - 1 2 ln ⁡ x 2

Portanto,

I = lim t → ∞ ⁡ ∫ 3 t 1 x   ln ⁡ x 3   d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 2 ln ⁡ x 2 3 t = lim t → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 3 2 - 1 2 ln ⁡ t 2

Como ln ⁡ t → ∞ quando t → ∞ , o segundo termo do limite tende a zero. Assim,

I = 1 2   ln ⁡ 3 2

Como a integral converge, pelo teste da integral podemos afirmar que a série (A) também converge!

Passo 2

Agora vamos para a série (B):

B   ∑ n = 3 ∞ - 1 n 1 n   ln ⁡ n 3

Note que essa série é alternada do tipo

∑ n = 3 ∞ - 1 n   b n

onde

b n = 1 n   ln ⁡ n 3

Vamos ver se essa série converge absolutamente. Para isso, consideramos

∑ n = 3 ∞ - 1 n 1 n   ln ⁡ n 3 = ∑ n = 3 ∞ 1 n   ln ⁡ n 3

Note que essa é a série (A), que já provamos ser convergente. Com isso a série

∑ n = 3 ∞ - 1 n 1 n   ln ⁡ n 3

é convergente, de modo que a série (B) converge absolutamente. Em particular, ela também é convergente! Lembre-se que

∑ a n   c o n v e r g e ⇒ ∑ a n   c o n v e r g e

Já vimos que as séries (A) e (B) são convergentes, resta ver a série (C)!

Passo 3

Para a última série:

C   ∑ n = 3 ∞ s e n   n 1 n   ln ⁡ n 3

Novamente, vamos considerar a série para convergência absoluta:

∑ n = 3 ∞ s e n   n 1 n   ln ⁡ n 3 = ∑ n = 3 ∞ s e n   n 1 n   ln ⁡ n 3

Eu pude deixar o módulo apenas no seno pois o outro termo é sempre positivo. Lembre-se que n ≥ 3 > e , de modo que

ln ⁡ ( n ) > 0

Note que

s e n   n ≤ 1

Portanto,

s e n   n 1 n   ln ⁡ n 3 ≤ 1 n   ln ⁡ n 3

Logo,

∑ n = 3 ∞ s e n   n 1 n   ln ⁡ n 3 ≤ ∑ n = 3 ∞ 1 n   ln ⁡ n 3

Mas já provamos que a série da direita é convergente (série (A)). Assim, pelo teorema do comparação, a série da esquerda (menor) também será convergente. Com isso, provamos que a série (C) é absolutamente convergente!

Note que as três séries são absolutamente convergentes. Em particular, as três são convergentes! Resposta: alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

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2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1