3 – Discuta a convergência (diverge ou converge condicionalmente ou converge absolutamente) das séries abaixo:

c) ∑ - 1 n + 1 ln ⁡ 1 + 1 n

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos uma série dada por ∑ - 1 n + 1 ln ⁡ 1 + 1 n e nosso objetivo é mostrar que essa série diverge ou converge (absolutamente ou condicionalmente).

Ok, mas como vamos fazer isso?? 🤔🤔

Podemos chamar a série como a n e aplicar algum método de teste que nos dê uma resposta.

Uma dica que podemos usar é que na série temos um - 1 n + 1 que nos mostra que a série é alternada.

Portanto podemos aplicar o teste das séries alternadas e verificar se a n converge ou diverge.

Entendeu? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

O teste das séries alternadas nos diz que se a n converge, então a n também converge.

No caso, nosso a n é dado por

a n = - 1 n + 1 ln ⁡ 1 + 1 n

Podemos reescrever - 1 n + 1 como

- 1 n + 1 = - 1 n - 1

Logo, temos

a n = - 1 n - 1 ln ⁡ 1 + 1 n

Assim, colocando a n em módulo, podemos excluir - 1 n - 1

a n = ln ⁡ 1 + 1 n

Agora podemos calcular o limite do a n e se o limite resultar em 0 , a n converge absolutamente.

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Calculando o limite de a n , temos

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 n

Substituindo n por , vemos que

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 n = ln ⁡ 1 + 1 ∞

Como 1 ∞ consiste em um número pequeno dividido por um número muito grande, podemos fizer que essa fração tende a 0 muito rápido, então

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 n = ln ⁡ 1 + 0

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 n = ln ⁡ 1

Sabemos que ln ⁡ 1 é igual a 0 , portanto

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 n = 0

Logo, vemos que pelo teste das séries alternadas, a n converge absolutamente!

∑ - 1 n + 1 ln ⁡ 1 + 1 n = C o n v e r g e   A b s o l u t a m e n t e

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∑ - 1 n + 1 ln ⁡ 1 + 1 n = C o n v e r g e   A b s o l u t a m e n t e

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Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
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