Exercícios Resolvidos de Série alternada

UNICAMP, Cálculo 3, P3 - 2013.1, Questão 1a

( a ) Determine a convergência das séries numéricas, verificando todas as condições do Teste de Convergência utilizado.

i )           1 n ,                 i i )         - 1 n n

Passo 1

Para a primeira série, vamos usar o Teste da Integral. Como o termo geral é a n = 1 n , escrevemos uma função f x = 1 x .

Notamos ainda que f é uma função positiva e decrescente em [ 1 , ) (já que o denominador aumenta e a fração, como um todo, diminui).

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Passo 2

Agora testamos 1 f x d x :

1 f x d x =   1 1 x d x = 1 x - 1 2 d x = 2 x 1 2 1 =

Isso mostra que esta integral imprópria dá infinito (diverge). Então, pelo Teste da Integral, a série     1 n também diverge.

Passo 3

Agora, temos a série     - 1 n n , com termo geral a n = - 1 n n .

Vamos usar o Teste das Séries Alternadas (Critério de Leibnitz). Só chamarmos assim: a n = - 1 n b n , onde b n = 1 n .

Passo 4

Beleza, aí nós vemos que a n troca de sinal a cada termo (de fato, a série é alternado). E além disso b n é decrescente para todo n :

b n + 1 < b n

1 n + 1 < 1 n

Percebeu?

Satisfeitas as condições, concluímos que a série a n converge.

Resposta

i ) Diverge.

i i ) Converge.

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