Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

b ∑ n = 0 - 1 n 7 n n !

Passo 1

Opa pessoal, aqui quem fala é o Rodolpho do Responde Aí, está tudo lá em cima?

Bem, aqui temos uma questão bem padrão de séries.

Para responder essa questão precisamos analisar o termo a n da série, sendo assim:

a n = - 1 n 7 n n !

Temos um termo que - 1 n + 1 , isso mostra que nossa série é alternada, então precisamos analisar a série com o critério das séries alternadas.

O critério das séries alternadas informa que a série converge absolutamente se:

  1. a n + 1 < a n
  2. a n   = 0

Então vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos calcular o módulo do termo a n da série, então vamos lá:

a n = - 1 n 7 n n !

Como temos que o n ≥ 2   p o d e m o s   d i z e r   q u e   o l n l n   n   > 0 , logo:

a n = - 1 n 7 n n ! =

Agora vamos calcular o termo a n + 1

a n + 1 = - 1 n 7 n n ! = 7 n + 1 ( n + 1 ) ! = 7 n ( n + 1 ) n ! = a n n + 1

Agora precisamos verificar a seguinte inequação:

a n + 1 < a n

Gerando a seguinte inequação:

a n + 1 - a n < 0

Para isso, temos que:

7 n ( n + 1 ) n ! - 7 n n ! = a n n + 1 - a n = a n 1 n + 1 - 1 < 0

Aqui temos o primeiro critério do teste das séries alternadas satisfeito.

Passo 3

Agora precisamos calcular a segunda parte do critério das séries alternadas que é dado pelo seguinte limite:

a n   = - 1 n 7 n n !   = 7 n n !   - 1 n    

Para resolver o problema precisamos calcular o seguinte limite:

7 n n !    

Aqui nós temos que a função n ! Cresce muito mais rápido do que a questão 7 n na medida que n cresce. Portanto, temos que:

7 n n !     = 0

Temos um limite que tende a 0 multiplicado por outro que fica oscilando entre 1   e - 1 , portanto:

a n   = - 1 n 7 n n !   = 7 n n ! * - 1 n   = 0  

Resposta

A série é convergente pelos critérios das séries alternadas.

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