Determine se a série ∑ n = 2 ∞ ( - 1 ) n n   l o g ( n ) é (condicionalmente ou absolutamente) convergente, ou divergente.

Passo 1

Verificar o tipo de série. Como é uma série em que mudamos de sinal a cada termo por causa de ( - 1 ) n , temos uma série altenada.

Passo 2

Utilizar o teste da série alternada.

  1. Vamos considerar o termo da série alternada apenas c:
  2. c = 1 n   l o g ⁡ ( n ) = ( n   l o g ⁡ ( n )   ) - 1

  3. Se o nosso termo é descrescente e vai a zero quando n → ∞ , então a série converge.

Passo 3

Testar se a série descresce e vai a zero quando n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ c = lim n → ∞ ⁡ 1 n log ⁡ n = 0

Passo 4

Descobrimos que o limite da nossa função é zero, agora precisamos saber se a nosso termo c é decrscente. Podemos tirar a derivada do nosso termo c, se ela for positiva, ele é crescente e se for negativa, decrescente.

c = f ( n ) = 1 n   l o g ⁡ ( n ) = ( n   l o g ⁡ ( n )   ) - 1

Fazendo:

u = n   l o g ⁡ ( n )

Pela regra da cadeia:

d u = log ⁡ n + n n = log ⁡ n + 1 d n

f u = u - 1

f ' ( u ) = - 1 u 2

f ' n = u d u

f ' n =   - 1 ( n   l n n ) 2 × ( log ⁡ n + 1 1 )

f ' n =   - ln ⁡ n + 1 ( n   l n n ) 2

Como a derivada é menor que zero, nossa função é descrescente. Então a nossa série converge!

Passo 5

Agora precisamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso temos que ver se essa série aqui converge:

∑ n = 2 ∞ ( - 1 ) n n   l o g ( n )

∑ n = 2 ∞ 1 n   l o g ( n )

Como 1 n   l o g ( n ) é sempre positivo:

∑ n = 2 ∞ 1 n   l o g ( n )

Para descobrir a convergência vamos usar o teste da integral:

∫ n = 2 ∞ 1 n   l o g ( n ) d n

Vamos arrumar essa integral imprópria:

∫ n = 2 ∞ 1 n   l o g ( n ) d n = lim a → ∞ ⁡ ∫ n = 2 a 1 n   l o g ( n ) d n

Passo 6

Vamos resolver a integral:

∫ n = 2 a 1 n   l o g ( n ) d n

Vamos usar mudança de variável:

log ⁡ n = u

1 n   d n = d u

Temos que mudar os limites de integração:

n = 2   → u = l o g ⁡ ( 2 )

n = a   → u = l o g ⁡ ( a )

∫ n = 2 a 1 n   l o g ( n ) d n = ∫ l o g ⁡ ( 2 ) l o g ⁡ ( a ) 1 n   d n

log ⁡ n | l o g ⁡ ( a ) l o g ⁡ ( 2 ) = log ⁡ log ⁡ a - l o g ⁡ [ log ⁡ 2 ]

l i m a → ∞ log ⁡ log ⁡ a - log ⁡ log ⁡ 2 = ∞

Logo, a série de valores absolutos diverge e a nossa série converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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