Determine a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo. Justifique.

(b) ∑ n = 1 ∞ 3 n n ! 2 2 n ! .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos que verificar se uma série dada por ∑ n = 1 ∞ 3 n n ! 2 2 n ! diverge, converge ou converge absolutamente.

Analisando a série vemos que existe a presença de um fatorial. Nesses casos, muito provavelmente o método que vai nos dar a resposta é o teste da razão.

Ta ligado que teste é esse? 🤔🤔

O teste da razão consiste em calcularmos o limite do modulo da razão entre a n + 1 e a n . ou seja

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

O limite dará um resultado numérico L .

Se L < 1 a série converge.

Se L > 1 a série diverge.

E se L = 1 não podemos concluir nada.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Lembrando que temos a seguinte série.

∑ n = 1 ∞ 3 n n ! 2 2 n !

Como dito no passo 1, vamos aplicar o método do teste da razão onde a n = 3 n n ! 2 2 n !

Dessa forma, vamos calcular

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k

a k = a n e a k + 1 = a n + 1 , portanto

a n + 1 = 3 n + 1 n + 1 ! 2 2 n + 1 !

Dessa forma, nosso limite será

lim k → ∞ ⁡ 3 n + 1 n + 1 ! 2 2 n + 1 ! 3 n n ! 2 2 n ! → lim k → ∞ ⁡ 3 n + 1 n + 1 ! 2 2 n + 1 ! 2 n ! 3 n n ! 2

Podemos simplificar nossa fração, veja só

Se escrevermos o primeiro termo dos fatoriais da a n + 1 e deixar os próximos em fatorial, podemos fazer o seguinte:

lim k → ∞ ⁡ 3 n 3 1 n + 1 n - 1 + 1 ! 2 2 n + 1 2 n - 1 + 1 ! 2 n ! 3 n n ! 2

lim k → ∞ ⁡ 3 n 3 1 n + 1 2 n ! 2 2 n + 1 2 n ! 2 n ! 3 n n ! 2

Perceba que podemos cortar os termos 3 n , 2 n ! e n ! 2 pois aparecem no numerador e no denominador.

lim k → ∞ ⁡ 3 n + 1 2 2 n + 1

Agora parece bem mais fácil, não é?

O que uma manipulação nos fatoriais não faz... 😉

Passo 3

Agora temos mais uma boa simplificação se escrevermos n + 1 2 como n + 1 · n + 1 .

lim k → ∞ ⁡ 3 n + 1 n + 1 2 n + 1

Simplificando n + 1 do numerador com o denominador

lim k → ∞ ⁡ 3 n + 1 2

Agora por fim, se substituirmos n por temos

lim k → ∞ ⁡ 3 n + 1 2 = 3 ∞ + 1 2 = ∞

Logo, encontramos que

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = ∞

Como vimos no início do problema se L fosse maior que 1 , a série seria divergente.

Ou seja

∑ n = 1 ∞ 3 n n ! 2 2 n ! = D i v e r g e

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

b) ∑ n = 1 ∞ 3 n n ! 2 2 n ! = D i v e r g e

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