Exercícios Resolvidos de Série alternada

3- Para cada uma das séries abaixo determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique.

a)

∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 n ln ⁡ n

Passo 1

Bem, se temos uma série alternada, acredito que o melhor a se fazer é começar avaliando pelo teste da série alternada:

∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 n ln ⁡ n

Para isso, temos que verificar se:

  • A série é positiva?
  • No nosso caso, vemos que...

    n > 0         e         ln ⁡ n > 0             →           1 n ln ⁡ n > 0

    Como o termo da série deu maior que 0 , então sim! Ela é positiva!

  • A série é decrescente?

Para verificar isso, basta ver se o termo geral vai a 0 . Como ela é positiva, se isso acontecer, então ela só pode decrescer! Como no nosso caso...

lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n = 0

Então ela de fato decresce!

Logo, pelo teorema de série alternada:

∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 n ln ⁡ n             →           C o n v e r g e   C o n d i c i o n a l m e n t e

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não acabamos ainda, neh, já que ela ainda pode convergir absolutamente ou não. Então vamos verificar lembrando que para isso, basta aplicar um módulo no termo da série...

∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

E analisar a convergência da série que surgiu!

Veja que como o termo geral continua sendo positivo decrescente podemos aplicar agora o teste da Integral. Talvez ele seja útil, pois sabemos integrar essa função aqui:

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x   d x

Por uma substituição:

ln ⁡ x = a           →

d a = 1 x d x

Não se esqueça de mudar os limites de integração também:

x = 2         →         a = ln ⁡ 2 x → ∞         →               a → ∞

Logo...

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x   d x = ∫ ln ⁡ 2 ∞ 1 a   d a =

  ln ⁡ a   ln ⁡ 2 ∞ =

lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ b - ln ⁡ ln ⁡ 2     →       ∞

Como a solução dessa integral divergiu, a série:

∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 n ln ⁡ n

Também diverge e, portanto, ela não converge absolutamente!

Resposta

∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 n ln ⁡ n             →           C o n v e r g e   C o n d i c i o n a l m e n t e

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