( a ) Determine a convergência das séries numéricas, verificando todas as condições do Teste de Convergência utilizado.

i )       ∑     1 n ,                 i i )     ∑     - 1 n n

Passo 1

Para a primeira série, vamos usar o Teste da Integral. Como o termo geral é a n = 1 n , escrevemos uma função f x = 1 x .

Notamos ainda que f é uma função positiva e decrescente em [ 1 , ∞ ) (já que o denominador aumenta e a fração, como um todo, diminui).

Passo 2

Agora testamos ∫ 1 ∞ f x d x :

∫ 1 ∞ f x d x =   ∫ 1 ∞ 1 x d x = ∫ 1 ∞ x - 1 2 d x = 2 x 1 2 ∞ 1 = ∞

Isso mostra que esta integral imprópria dá infinito (diverge). Então, pelo Teste da Integral, a série ∑     1 n também diverge.

Passo 3

Agora, temos a série ∑     - 1 n n , com termo geral a n = - 1 n n .

Vamos usar o Teste das Séries Alternadas (Critério de Leibnitz). Só chamarmos assim: a n = - 1 n b n , onde b n = 1 n .

Passo 4

Beleza, aí nós vemos que a n troca de sinal a cada termo (de fato, a série é alternado). E além disso b n é decrescente para todo n :

b n + 1 < b n

1 n + 1 < 1 n

Percebeu?

Satisfeitas as condições, concluímos que a série ∑ a n converge.

Resposta

i ) Diverge.

i i ) Converge.

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2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1