Exercícios Resolvidos de Série alternada

UFPE, Cálculo 3, 3º EE - 2018.2, Questão Q02

(3.0) Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente

ou divergente.

  1. n = 1 2 * 4 * 6 2 n n !
  2. n = 1 - 1 n n n 2 + 1  
  3. n = 1 e 1 / n n 2

Passo 1

Fala aí, vamos lá analisar essas séries. Começando pela primeira.

Bom, a gente pode escrever esse numerador um pouquinho diferente para facilitar a nossa vida, né? Vê se não é a mesma coisa:

n = 1 ( 2 * 1 ) * ( 2 * 2 ) * ( 2 * 3 ) 2 * n n !

Bom, em todos os termos do nosso numerador, nós temos o 2 multiplicando algum número, né? Podemos então colocar em evidência, né?

n = 1 2 n ( 1 * 2 * 3 n ) n !

Agora que a malícia mor já foi feita, dá uma olhadinha nesse numerador. Que bonito!! O que tá multiplicando o nosso 2 n . Oras, é um n ! , né Bora substituir.

n = 1 2 n n ! n ! n = 1 2 n  

É isso mesmo que você está vendo. Reduzimos aquela expressão enorme para apenas isso.

Bom, agora podemos testar algo como o Teste da Divergência.

lim n 2 n =

Logo, a nossa série é DIVERGENTE.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora para o item (2). Nossa série agora é uma série alternada.

Ora, podemos usar o Teste da Série Alternada então, né?

Para ser convergente, tem duas condições que a série alternada tem que satisfazer, se lembra?Vou colocar aqui. Para a série n = 1 - 1 n b n

1) lim n b n = 0

2)   b n + 1 b n

Beleza, pro nosso caso, b n = n n 2 + 1 . Vamos testar a condição do limite, então:

lim n n n 2 + 1

Nesse caso, ficaríamos com / , então vamos usar L’Hopital, né:

lim n n n 2 + 1 = lim n 1 2 n = 0

Beleza, a primeira condição foi satisfeita. Agora, vamos ver como fica a segunda:

A série para ter   b n + 1 b n precisar ser decrescente. Então, a gente pode analisar a derivada da função correspondente, ou seja,

f x = x x 2 + 1

Aí se tivermos f ' x < 0 , saberemos que a série é decrescente. Então, vamos derivar essa função:

f ' x = x 2 + 1 - x 2 x x 2 + 1 2 = 1 - x 2 x 2 + 1 2

Bom, lembra que os limites do somatório era n = 1 até , logo sabemos que n > 0 , então na nossa derivada o numerador será negativo enquanto o denominador será sempre positivo (até porque está ao quadrado, né)

Com isso, conseguimos a nossa segunda condição:

f ' x < 0 b n + 1 b n

Então, pelo teste da Série alternada, a série é convergente.Acabou o problema?? Não!!Calma, que eu já vou te explicar porque não acabou.

Olha o enunciado, a série pode ser absolutamente ou condicionalmente convergente, lembra?

Agora, a gente precisa descobrir se a série dos valores absolutos n = 1 n n 2 + 1 converge ou diverge.

Para isso, podemos usar a comparação no limite com a série harmônica da seguinte forma:

lim n n n 2 + 1 1 n = lim n n 2 n 2 + 1 = lim n 1 1 + 1 / n 2 = 1  

Logo, como a série harmônica diverge, temos que a série dos valores absolutos também diverge.

Agora siiiim!!! Conseguimos!!

Então, a nossa série

n = 1 - 1 n n n + 1  

Converge condicionalmente!

Passo 3

Agora que já estamos craques em saber se a série converge ou diverge, vamos para o item (3).

A série é a seguinte:

n = 1 e 1 / n n 2

Bom, sabemos que a função exponencial nunca é zero, néAí a gente pode dizer que:

0 < e 1 / n n 2

Bom, agora só precisamos achar uma série que seja maior que a nossa.

Uma série bem parecida é

n = 1 e n 2

Essa série é convergente, porque lembra que ela é uma p -série em que p = 2 > 1 .

Aí a gente sabe que n 1 (limites do somatório) e para esses valores, o numerador da nossa série será sempre menor que essa. Calma, não se desepere!! Só estou falando que:

e 1 n e                 p a r a   n 1

Agora, a gente pode voltar para a comparação:

0 < e 1 / n n 2 e n 2 ,       n 1

Maravilha! Se a nossa série está entre zero e uma série convergente, temos que a nossa série é Absolutamente Convergente!

Resposta

1- Divergente

2- Condicionalmente convergente

3- Absolutamente convergente

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