Exercícios Resolvidos de Série alternada

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2012.2, Questão 1b

Analise a convergência das séries abaixo indicadas:

n = 0 - 1 n ( n 2 + 5 ) n 3 + 1

Passo 1

Temos aqui uma série alternada, então precisamos considerar as três hipóteses: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, nessa ordem, ok?

Testando a convergência absoluta, temos o seguinte:

n = 0 - 1 n n 2 + 5 n 3 + 1 = n = 0 n 2 + 5 n 3 + 1

Se essa série aí convergir, então nossa série converge absolutamente. Será que ela converge?

Analisando os graus de n , temos n 2 em cima e n 3 embaixo, ou seja, é como se tivéssemos 1 / n , a Série harmônica, que diverge.

Como é complicado fazer uma comparação tradicional com a Série harmônica, por causa do + 5 e do + 1 , vamos aplicar o Teste da comparação no limite:

lim n a n b n = lim n n 2 + 5 n 3 + 1 × n =

= lim n n 3 + 5 n n 3 + 1 =

= lim n n 3 ( 1 + 5 / n 2 ) n 3 ( 1 + 1 / n 3 ) =

= lim n ( 1 + 5 / n 2 ) ( 1 + 1 / n 3 ) = 1 > 0

Portanto, a nossa série tem o mesmo comportamento da harmônica, como ela diverge essa série também diverge, o que nos leva a concluir que nossa série não converge absolutamente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas ela ainda pode convergir condicionalmente, como série alternada, não é? Vamos aplicar então o Teste das séries alternadas.

Para isso temos que olhar o termo sem o sinal dessa parada.

b n = n 2 + 5 n 3 + 1

Precisamos descobrir se o limite desse termo vai para 0 e se esse termo é decrescente

Passo 3

Primeiro vamos ver se o limite vai para 0 quando n . Temos:

lim n n 2 + 5 n 3 + 1 =

Aplicando a Regra de L’Hospital, pois tanto o denominador como o numerador estão tendendo a infinito, temos:

lim n n 2 + 5 n 3 + 1 = lim n 2 n 3 n 2 = lim n 2 3 n = 0

Então a 1ª condição está ok, o limite é zero.

Passo 4

Vamos ver agora se essa função é decrescente, para isso vamos fazer

f n = b n

Assim

f x = x 2 + 5 x 3 + 1

E vamos analisar a derivada dessa função, se ela for negativa então a nossa série é decrescente.

f ' x = 2 x x 3 + 1 - x 2 + 5 3 x 2 x 3 + 1 2 = - x 4 - 15 x 2 + 2 x x 3 + 1 2

Podemos ver o denominador é sempre positivo. Como temos um polinômio de 4 º grau no numerador, depois da última raiz desse polinômio, ele vai para - ou + , tudo depende do sinal do cara que está com x 4 , como ele é negativo ele vai para - , isso garante que depois de um certo valor de x essa função é decrescente, que é o que queríamos mostrar.

Logo pelo teste da série alternada essa série converge, e como ela não converge absolutamente ela converge condicionalmente.

Resposta

Ela converge condicionalmente

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