Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P1 - 2017, Questão 4

Para cada x R , considere a série

n = 1 - 1 n - 1 x - 4 n 3 n n

( a ) Verifique se a série converge quando x = 5 , pelo critério de Leibniz.

( b ) Determine o valor da soma da série do item ( a ) com erro inferior a 10 - 3 .

( c ) Determine o raio e o intervalo de convergência da série acima.

Passo 1

( a ) Verifique se a série converge quando x = 5 , pelo critério de Leibniz.

Vamos substituir o valor na série então:

n = 1 - 1 n - 1 5 - 4 n 3 n n = n = 1 - 1 n - 1 1 3 n n

Para usar o critério de Leibniz, precisamos que, dada uma série - 1 n b n :

lim n b n = 0   e   b n   s e j a   d e c r e s c e n t e

Então vamos nessa!

Começando com:

lim n 1 3 n n = 0

Beleza, agora veja que é bem claro que 1 3 n n é decrescente pois:

3 n + 1 n + 1 > 3 n n

Logo:

1 3 n + 1 ( n + 1 ) < 1 3 n n

Então, pelo critério de Leibniz, a série converge.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( b ) Determine o valor da soma da série do item ( a ) com erro inferior a 10 - 3 .

Como estamos tratando de uma série alternada, temos:

n = 1 - 1 n - 1 1 3 n n n = 1 k - 1 n - 1 1 3 n n

e r r o = n = k + 1 - 1 n - 1 1 3 n n a k + 1 = 1 3 k + 1 ( k + 1 )

Como queremos que o erro seja inferior a 10 - 3 , faremos:

1 3 k + 1 k + 1 < 10 - 3

3 k + 1 k + 1 > 10 3

Para k = 4 :

3 5 5 = 1215 > 10 3

Portanto:

n = 1 - 1 n - 1 1 3 n n n = 1 4 - 1 n - 1 1 3 n n

Passo 3

( c ) Determine o raio e o intervalo de convergência da série acima.

Vamos aplicar o critério da razão para a série em módulo:

lim n a n + 1 a n = lim n | x - 4 | n + 1 3 n + 1 n + 1 3 n n x - 4 n = lim n x - 4 3 n n + 1 = x - 4 3

Para x - 4 3 < 1 x - 4 < 3 ; a série converge absolutamente, pelo critério da razão.

Para x - 4 3 > 1 x - 4 > 3 ; o termo geral não vai a zero, logo a série diverge.

Para x - 4 3 = 1 x = 1   o u   x = 7 ; o teste é inconclusivo, mas de qualquer maneira podemos afirmar que o raio de convergência é 3 .

Passo 4

Para x = 1

n = 1 - 1 n - 1 1 - 4 n 3 n n = n = 1 - 1 n - 1 - 3 n 3 n n = - n = 1 1 n

E já sabemos que essa série é a harmônica com o sinal trocado, então ela diverge.

Passo 5

Para x = 7

n = 1 - 1 n - 1 7 - 4 n 3 n n = n = 1 - 1 n - 1 3 n 3 n n = n = 1 - 1 n - 1 1 n

Para avaliar a convergência dessa série, vamos usar o critério de Leibniz:

lim n 1 n = 0

Além disso, sabemos que 1 n é decrescente. Então, pelo critério de Leibniz, a série converge absolutamente.

r a i o   d e   c o n v e r g ê n c i a   x - 4 < 3

i n t e r v a l o   d e   c o n v e r g ê n c i a = ( 1,7 ]

Resposta

a A série converge.

b n = 1 4 - 1 n - 1 1 3 n n

( c ) r a i o   d e   c o n v e r g ê n c i a   x - 4 < 3 ,     i n t e r v a l o   d e   c o n v e r g ê n c i a =   ( 1,7 ]

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas