Exercícios Resolvidos de Série alternada

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2013.1, Questão 1b

Classifique em condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente a série

n = 2 - 1 n + 1 ln ( n )

Passo 1

Primeiramente, vamos testar a convergência absoluta. Temos:

n = 2 - 1 n + 1 ln ( n ) = n = 1 1 ln ( n )

Será que essa série converge? Como o seu formato é bem simples, talvez seja uma boa o Teste da comparação, vamos tentar. Podemos afirmar que

ln n < n

Pois temos n > 1 , portanto apenas logaritmos positivos. Logo,

1 ln n > 1 n

Como a série 1 / ln n tem termos maiores dos que os da Série harmônica, que diverge, podemos dizer que ela também diverge.

Logo, a série do problema não converge absolutamente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos testar a convergência condicional, pelo Teste das séries alternadas.

Sendo

b n = 1 ln ( n )

Já vemos que lim n 1 ln ( n ) = 0 e que, pelo seu formato, b n é decrescente pois

ln ( n ) < ln ( n + 1 )

1 ln n > 1 l n ( n + 1 )

Portanto, pelo Teste das séries alternadas, a série do problema converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas