Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P1 - 2014, Questão 3a

Decida se a série converge condicionalmente, converge absolutamento ou divege.

n = 1 - 1 n + 1 arctan n n  

Passo 1

Vamos analisar o módulo do termo geral:

a n = | arctan n | n

A gente sabe que o arco tangente representa um ângulo da tangente tal que esse ângulo aplicado a função tangente dê o valor dentro do argumento do arco tangente, eta pau o.O. Mas enfim, a ideia é, o valor mínimo do argumento do arco tangente acontece em n = 1 depois ele vai aumentando pra n maior.

Então o valor mínimo do ângulo é para n = 1

arctan 1   = π 4

Ok, o depois o n cresce infinitamente, a gente sabe que o valor que representa esse infinito é pro ângulo de π 2 para a função tangente:

arctan n = π 2   p a r a   n

Então concluímos que

π 4 arctan n < π 2

π 4 n | arctan n | n < π 2 n

Pelo teste da comparação, como

a n π 4 n

Essa série é a série harmônica multiplicada por π / 4 , que diverge.

Então essa série não converge absolutamente

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Passo 2

Agora pra verificar se ela converge condicionalmente, vamos usar o teste da série alternada!

Temos que ver se b n é decrescente e se o seu limite vai para 0

Com

b n = arctan n n

Vamos começar vendo se ela é decrescente, para isso temos que fazer

f n = b n f x = arctan x x

E analisar o sinal dessa derivada

f ' x = x 1 + x 2 - arctan x x 2

f ' x = x - 1 + x 2 arctan x 1 + x 2 x 2

f ' x = x - 1 + x 2 arctan x 1 + x 2 x 2

Nos sabemos que

arctan x < π 2

Então o numerador vai ser

x - 1 + x 2 arctan x < x - π 2 1 + x 2

x - 1 + x 2 arctan x < - π 2 + x - π 2 x 2

O segundo cara é uma função de 2 grau, então vamso achar as raízes dessa função, porque se ele não tiver raízes então é sempre negativo, se tiver uma raiz ele é negativo fora da raiz, e se tiver duas ele vai ser negativo a partir da maior raiz. Vamos achar Δ

Δ = 1 2 - 4 - π 2 - π 2 = 1 - π 2 < 0

Logo ele é sempre negativo, isso diz que

f ' x < 0

Passo 3

Vamos para o limite de b n agora

lim n b n = lim n arctan n n

Mas já vimos ali em cima que

π 4 n | arctan n | n < π 2 n

Mas vimos que a partir de n = 1 esse arcotangente é positivo, então

π 4 n arctan n n < π 2 n

Assim pelo teorema do sanduiche

lim n b n = lim n arctan n n = 0

Pelo teste da série alternada essa série converge.

Resposta

Converge condicionamente

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