Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P1 - 2011, Questão 2a

Decida se a série converge condicionamente ou absolutamente ou diverge

n = 1 - 1 n 3 n + 5 2 n 2 + 3 n + 1

Passo 1

Bem galera, temos aí uma típica série alternada, primeira coisa a se fazer é verificar se ela é absolutamente convergente, ou seja, queremos ver se a série em módulo:

n = 1 3 n + 5 2 n 2 + 3 n + 1

Converge.

Como temos dois polinômios, vamos primeiro colocar o maior grau desse polinômio em evidência

n = 1 3 n + 5 2 n 2 + 3 n + 1 = n = 1 n 3 + 5 n n 2 2 + 3 n + 1 n 2 = n = 1 3 + 5 n n 2 + 3 n + 1 n 2

Desprezando aquele temos grandão que sobrou ali é como se tivéssemos a série 1 n vezes um número, então vamos usar o teste da comparação no limite entre esse série e a série b n = 1 / n

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Passo 2

O teste de comparação no limite vai ficar

a n = 3 + 5 n n 2 + 3 n + 1 n 2

b n = 1 n

E

lim n a n b n = lim n 3 + 5 n n 2 + 3 n + 1 n 2 1 n = lim n 3 + 5 n 2 + 3 n + 1 n 2 = 3 + 0 2 + 0 + 0 = 3 2

Isso nos diz que a série que temos tem o mesmo comportamento de

n = 1 1 n

Que é a série harmônica, e ela diverge, assim a nossa série não converge absolutamente.

Passo 3

Vimos que a nossa série não converge absolutamente, temos que ver agora se ela converge condicionalmente.

n = 1 - 1 n 3 n + 5 2 n 2 + 3 n + 1

Ela é uma série alternada, então vamos usar o teste da série alternada.

Temos que ver se b n é decrescente e se o seu limite vai para 0 quando n onde

b n = 3 n + 5 2 n 2 + 3 n + 1

Vamos começar com o limite, como temos um polinômio vamos colcoar o maior grau em evidência

lim n b n = lim n 3 n + 5 2 n 2 + 3 n + 1 = lim n n 3 + 5 n n 2 2 + 3 n + 1 n 2 =

lim n 3 + 5 n n 2 + 3 n + 1 n 2 = 3 + 0 2 + 0 + 0 = 3 = 0

Agora temos que ver se a função é decrescente.

Para isso fazemos

f x = 3 x + 5 2 x 2 + 3 x + 1

E vamos analisar a derivada dessa função para ver se ela vai ser negativa, vendo que a nossa função f x vai ser decrescente.

f ' x = 3 2 x 2 + 3 x + 1 - 3 x + 5 4 x + 3 2 x 2 + 3 x + 1 2 = 6 x 2 + 9 x + 3 - 12 x 2 + 29 x + 15 2 x 2 + 3 x + 1 2

f ' x = 6 x 2 + 9 x + 3 - 12 x 2 - 29 x - 15 2 x 2 + 3 x + 1 2 = - 6 x 2 - 20 x - 12 2 x 2 + 3 x + 1 2

O sinal do denominador é sempre positivo, temos que ver o sinal do numerador. Como ele é uma função de segundo grau com o coeficiente de x 2 negativo essa função vai ser sempre negativa a partir da maior raiz da função.

As raízes dessa função vão ser

x = - 5 ± 7 3

Ambas são negativas, isso nos diz que aquele numerador é sempre negativo para x 1 e a nossa função f ' x vai ser negativa também, sendo assim decrescente.

Como b n vai para 0 quando n e ela é decrescente, temos, pelo teste da série alternada, que a série converge condicionalmente.

Resposta

Converge Condicionalmente

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