Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P-SUB - 2017, Questão 1c

Determinar se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

n = 1 - 1 n 1 1 + n ln n

Passo 1

Vamos olhar primeiramente para a série absoluta

n = 1 - 1 n 1 1 + n ln n = n = 1 1 1 + n ln n

Podemos tentar comparar essa série com outra um pouco mais simples:

n = 1 1 n ln n

Para poder fazer essa comparação, primeiro precisamos saber se essa série converge ou diverge. Para isso, podemos usar o teste da integral aqui. A integral equivalente vai ser:

1 d x x ln x  

Nessa integral, está aparecendo o ln x e sua derivada 1 / x , então podemos usar o método da substituição simples:

u = ln x

d u = 1 x d x

x u

u 1 = ln 1 = 0

Assim:

0 d x x ln x = 0 d u u = ln u 0

Portanto essa integral diverge e, pelo teste da integral

n = 1 1 n ln n

Diverge.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Legal, temos uma boa série que sabemos que diverge para poder comparar. Não dá para usar o método da comparação aqui, pois

n = 1 1 1 + n ln n < n = 1 1 n ln n

E a série à direita diverge. Então, vamos usar o teste comparação no limite. Temos que:

lim n 1 1 + n ln n 1 n ln n = lim n n ln n 1 + n ln n

Podemos fazer a substituição w = n ln n , com n w :

lim n n ln n 1 + n ln n = lim w w 1 + w = lim w w / w 1 / w + w / w = lim w 1 1 / w + 1 = 1

Assim, teremos

lim n 1 1 + n ln n 1 n ln n = 1 > 0

Portanto, como n = 1 1 n ln n diverge, segue que

n = 1 - 1 n 1 1 + n ln n

não converge absolutamente.

Passo 3

Beleza, sabemos que a série não é absolutamente convergente, mas precisamos saber se é condicionalmente convergente, para isso, vamos considerar:

n = 1 - 1 n 1 1 + n ln n = n = 1 - 1 n b n

Segundo o teste da série alterada, ela irá convergir se

b n > b n + 1   n 0

lim n b n = 0 .

Vamos começar verificando

b n > b n + 1   n 0

Para isso, definimos f : 1 , R tal que

f x = 1 1 + x ln x

Assim, temos f n = b n para todo n . Derivando essa função, temos, pela regra da cadeia:

f ' x = 1 + x ln x - 1 ' = - 1 1 + x ln x 2 ln x + x x = - 1 + ln x 1 + x ln x 2 < 0

Portanto, segue que f é estritamente descrente e, portanto

b n > b n + 1   n 0 .

Show, um critério já foi. Vamos ver agora

lim n b n = 0 .

De cara, como temos uma constante no numerador e o denominador é estritamente crescente, segue que

lim n 1 1 + n ln n = 0 .

Assim, segue pelo teste da série alternada que a série é condicionalmente convergente. 😊

Resposta

Converge condicionalmente.

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