Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P1 - 2017, Questão 3a

Determine se cada série a seguir converge absolutamente, condicionalmente ou diverge:

a n = 1 - 1 n - 1 sen 1 n

Passo 1

Vamos começar vendo a convergência da série em módulo:

n = 1 - 1 n - 1 sen 1 n = n = 1 sen 1 n

Usaremos o teste da comparação no limite, ok? Temos que:

a n = sen 1 n

E vamos escolher:

b n = 1 n

Vamos calcular o limite da razão entre esses termos e se obtivermos um número maior que zero e diferente de infinito, ou as duas convergem ou as duas divergem.

lim n sen 1 n 1 n = 1

Como b n é a série harmônica e sabemos que ela diverge, isso significa que o módulo da nossa série também diverge.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para analisar a convergência da nossa série, vamos usar o teste da série alternada, ok? Vamos lembrar dele rapidamente:

n = 1 - 1 n b n

“A série é convergente se lim n b n = 0 e b n + 1 < b n

Bom, então vamos à luta:

lim n sen 1 n = 0

Para ver se esse termo é decrescente, vamos calcular a derivada dele. Façamos:

f x = sen 1 x

f ' x = - cos 1 x 1 x 2

Queremos que a derivada seja negativa sempre a partir de um certo ponto, sendo que:

- cos 1 x 1 x 2 < 0 ,   x > 2 π

Então, pelo teste da série alternada, a série é convergente.

Logo, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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