Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P1 - 2012, Questão 3

Determine o intervalo de convergência da série

n = 2 - 1 n 2 x + 3 n n ln n  

Estudando a convergência dos extremos neste intervalo

Passo 1

Normalmente para fazermos o intervalo de convergência temos que ter

n = 2 a n x - a n

Então vamos escrever essa série desse jeito, primeiro temos que colocar o 2 daquele x em evidência

n = 2 - 1 n 2 x + 3 n n ln n = n = 2 - 1 n 2 x + 3 2 n n ln n = n = 2 - 1 n 2 n x + 3 2 n n ln n  

Beleza agora temos a nossa série da forma que estamos acostumados a trabalhar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão simplificado para séries de potências, vamos ter

lim n a n + 1 a n = lim n - 1 n + 1 2 n + 1 n + 1 ln n + 1 n ln n - 1 n 2 n =

Como temos um módulo podemos tirar aquele - 1

lim n 2 n ln n n + 1 ln n + 1 = 2 lim n n ln n n + 1 ln n + 1 =

2 lim n n n + 1 lim n ln n ln n + 1

Podemos tirar esses módulos porque o n , então

2 lim n n n + 1 lim n ln n ln n + 1

Temos que resolver esse dois limites.

Passo 3

Vamso achar esses limites, começando com o que tem logaritmo

lim n ln n ln n + 1 =

Temos uma indeterminação / então podemos aplicar L’Hopital.

lim n ln n ln n + 1 = lim n ln n ' ln n + 1 ' = lim n 1 n 1 n + 1 = lim n n + 1 n =

lim n 1 + 1 n = 1 + 1 = 1 + 0 = 1

O outro limite vai ser

lim n n n + 1

Ali temos dois polinômios, então vamos por o maior grau de n em evidência

lim n n n + 1 = lim n n n 1 + 1 n = lim n 1 1 + 1 n = 1 1 + 1 = 1 1 + 0 = 1

Passo 4

Voltando para o nosso limte do teste da razão

lim n a n + 1 a n = 2 lim n n n + 1 lim n ln n ln n + 1 = 2.1 . 1 = 2

Então como L = 1 / R , temos

L = 2 1 R = 2 R = 1 2

Passo 5

Vamos agora calcular o intervalo de convergência, como essa série está centrada no - 3 / 2 vamos ter a = - 3 / 2 , assim nosso intervalo vai ser

a - R , a + r = - 3 2 - 1 2 , - 3 2 + 1 2 = - 2 , - 1

Precisamos olhar agora os extremos desse intervalo

Passo 6

Começando com

x = - 2

Vamos ter

n = 2 - 1 n 2 x + 3 n n ln n = n = 2 - 1 n 2 - 2 + 3 n n ln n = n = 2 - 1 n - 4 + 3 n n ln n =

n = 2 - 1 n - 1 n n ln n = n = 2 1 n ln n  

Repara que temos ln n e 1 n no termo geral, isso nos dá uma dica de usarmos o teste da integral.

Para o teste da integral temos que fazer

f x = 1 x ln x

E antes de mais nada devemos ver se esse termo é decrescente, para isso vamos analisar a derivada dessa função.

f ' x = 0 - ln x + x 1 x x ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2

O denominador é positivo porque é um cara ao quadrado, temos que olhar o numerador. Repara que

ln x + 1 > 0 ln x > - 1 x > e - 1

Como temos x 2 esse numerador é positivo, e temos uma divisão de termos positivos vezes um menos que está fora da fração, então essa derivada é sempre negativa para o nosso valor de x e f x vai ser decrescente.

Podemos aplicar o teste da integral.

E devemos olhar a convergência da integral

2 f x d x = 2 1 x ln x d x

Se essa integral convergir então a série converge, se ela divergir a série diverge.

Passo 7

Vamos para essa integral

2 1 x ln x d x

Essa integral com é uma integral imprópria, e ela não tem nenhum ponto de descontinuidade nesse intervalo, então vamos ter

2 1 x ln x d x = lim a 2 a 1 x ln x d x

Temos que resolver

1 x ln x d x

Vamos fazer

ln x = u

d u = 1 x d x

E a integral vai ficar

1 x ln x d x = 1 u d u = ln u

Voltando para x

ln u = ln ln x

Voltando para o nosso limite

lim a 2 a 1 x ln x d x = lim a ln ln x 2 a = lim a [ ln ln a - ln ln 2   = ln ln - ln ln 2 =

=

Como essa integral diverge a nossa série diverge para x = - 2

Passo 8

Vamos agora para

x = - 1

Vamos ter

n = 2 - 1 n 2 x + 3 n n ln n = n = 2 - 1 n 2 - 1 + 3 n n ln n = n = 2 - 1 n - 2 + 3 n n ln n =

n = 2 - 1 n 1 n n ln n = n = 2 - 1 n n ln n

Temos uma série alternada, então vamos usar o teste da série alternada.

Para a série convergir devemos ter b n é decrescente e o seu limite vai para 0 quando n , sendo

b n = 1 n ln n

Vamos começar vendo o limite desse termo geral

lim n b n = lim n 1 n ln n = 1 ln = 1 = 0

Vamos ver agora se ele é decrescente, para isso devemos fazer

f n = b n f x = 1 x ln x

E olhar o sinal da sua derivada, mas essa função é igual aquela função que olhamos no passo 6, e já vimos que ela é decrescente.

Como b n é decrescente e o seu limite vai para 0 quando n , pelo teste da série alternada, a nossa série converge para

x = - 1

E o intervalo de convergência vai ser

- 2 . - 1

Resposta

- 2 , - 1

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