Exercícios Resolvidos de Série alternada

UFPE, Cálculo 3, 3º EE - 2017.1, Questão 3

Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

n = 2 - 1 n 2 x + 3 n n ln n

Passo 1

Bem, vamos primeiro entender o nosso problema:

Quando um determinado exercício nos pede intervalo de convergência, o que ele quer saber é para qual intervalo de x , a série converge.

Pelo teste da razão, a gente sabe que lim n + a n + 1 a n 1 . Essa é a única chance que a série tem para convergir. Logo, a gente pode aplicar esse teste na série dada e verificas as condições que x deve obedecer para esse limite existir.

Bem, o termo a n e o a n + 1   é  

a n = - 1 n 2 x + 3 n n ln n

a n + 1 = - 1 n + 1 2 x + 3 n + 1 n + 1 ln n + 1

Colocando esses caras na razão dentro do módulo lembrando que 2 x + 3 n + 1 = 2 x + 3 n ( 2 x + 3 ) por propriedade de potência.

a n + 1 a n = - 1 n + 1 2 x + 3 n ( 2 x + 3 ) n + 1 ln n + 1 - 1 n 2 x + 3 n n ln n

Observe que podemos tirar esses - 1 n + 1 e - 1 n , pois o módulo mata qualquer sinal negativo.

a n + 1 a n = 2 x + 3 n ( 2 x + 3 ) n + 1 ln n + 1   .   n ln n 2 x + 3 n

a n + 1 a n = 2 x + 3 n ln n   n + 1 ln n + 1  

Agora que está tuto simplificado, devemos aplicar o limite e ver o que acontece com essa expressão quando n vai para o infinito, certo?

lim n + a n + 1 a n = lim n + 2 x + 3 n ln n   n + 1 ln n + 1  

Como estamos trabalhando com o limite com n , 2 x + 3 pode sair do limite

lim n + 2 x + 3 n ln n   n + 1 ln n + 1   = | 2 x + 3 | lim n + n ln n   n + 1 ln n + 1  

Bora analisar esse limite separado?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, o limite que temos que trabalhar é

lim n + n ln n   n + 1 ln n + 1  

A gente pode utilizar um truque legal: ao invés de trabalhar com essa sequência, trabalharmos com a função que contêm essa sequência, ou seja, f t = t ln t   t + 1 ln t + 1 . Se essa função convergir, então a sequência também convergirá para o mesmo número :)

Tá, mas por que é legal fazer essa mudança para a função? Por que assim a gente está habilitado a trabalhar com as técnicas de limites usuais! Então vamos as contas!!!

lim t + t ln t   t + 1 ln t + 1

Note que desconsideramos o módulo, pois t é positivo.

Como em cima está indo para o infinito e embaixo também, podemos aplicar L ' h o p i t a l

lim t + t ln t   t + 1 ln t + 1 = lim t + ln t + 1 ln t + 1 + 1

Aplicando L ' h o p i t a l novamente, pois ln t + 1 vai par o infinito e ln ( t + 1 ) + 1 também, então

lim t + ln t + 1 ln t + 1 + 1 = lim t + 1 t 1 t + 1      

Simplificando essa expressão dentro do limite, vamos obter

lim t + t + 1 t = lim t + 1 + 1 t

Quando t vai pra infinito, 1 / t vai a 0 e portanto

lim t + t ln t   t + 1 ln t + 1 = lim t + 1 + 1 t = 1

Então a gente conclui que

lim n + n ln n   n + 1 ln n + 1   = 1

Passo 3

Voltando para o teste da razão, a gente chaga que

lim n + a n + 1 a n = | 2 x + 3 | lim n + n ln n   n + 1 ln n + 1  

Portanto

lim n + a n + 1 a n = | 2 x + 3 |

Como pelo teste da razão, temos que ter lim n + a n + 1 a n 1 , isso só acontece quando

2 x + 3 1

Esse módulo aí significa que 2 x + 1 está em um intervalo de - 1 a 1 , ou seja

- 1 2 x + 3 1

Onde podemos ver que ganhamos duas inequações diferentes:

  • - 1 2 x + 3
  • 2 x + 3 1

Se a gente isolar x na primeira inequação, obteremos

- 4 2 x         - 2 x

E isolar x na outra inequação 2 x + 3 1

2 x - 2               x - 1

Ou seja,

- 2 x - 1

Passo 4

Bem, a primeiro momento parece que encontramos o intervalo pedido, neh? Mas então... A gente não pode garantir que nos extremos desse intervalo, ou seja, em - 2 e - 1 , a série, convirja se lembra?

Então vamos determinar se isso acontece ou não, jogando esses valores na série

n = 2 - 1 n 2 x + 3 n n ln n           x = - 2       n = 2 - 1 n 2 ( - 2 ) + 3 n n ln n      

n = 2 - 1 n - 1 n n ln n = n = 2 - 1 2 n n ln n

2 n é sempre par, certo? Então - 1 2 n é sempre igual a 1

n = 2 - 1 2 n n ln n = n = 2 1 n ln n

Passo 5

Como a gente pode testar a convergência dessa série aí?

Bem, perceba que 1 n ln n é sempre positivo pois tanto o ln n quanto o n são positivos; e além disso, essa sequência vai a zero, logo podemos aplicar o teste da integral. Vamos ver se isso vai dar certo? :)

2 + 1 x ln x d x

O teste da integral fala que o que acontecer com essa integral, também acontece na série n = 2 1 n ln n .

A gente pode notar que se a gente derivar ln x , a gente obtêm 1 x , logo isso nos sugere fazer uma mudança de variável:

u = ln x                           d u = 1 x d x

Portanto

    1 x ln x d x =     1 ln x . 1 x d x =

    1 u d u = ln u   + k

Onde k é uma constante de integração que vai desaparecer quando substituir os limites

Voltando com a variável

2 + 1 x ln x = ln ln x 2

E substituindo os limites, podemos ver que essa integral diverge, pois lim x + ln ln x = +

Logo, a série também diverge para x = - 2 😊

Passo 6

Testando agora quando x = - 1

n = 2 - 1 n 2 x + 3 n n ln n           x = - 1       n = 2 - 1 n 2 ( - 1 ) + 3 n n ln n

n = 2 - 1 n 1 n n ln n

Como 1 n = 1

n = 2 - 1 n 1 n n ln n = n = 2 - 1 n n ln n

Essa série converge, pois ela é uma série alternada e o módulo dela vai pra zero, se lembra disso?

Prontinho! Então agora a gente pode falar que a série converge no intervalo de

I = ( - 2 , - 1 ]

E o raio de convergência é R = - 1 - - 2 2

R = 1 2

Resposta

Intervalo I de convergência:

I = ( - 2 , - 1 ]

Raio de convergência

R = 1 2

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