Exercícios Resolvidos de Série alternada

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G2 - 2017.1, Questão 3

Determine o raio e o intervalo de convergência da série

f x = n = 2 - 1 n n ln n x n

Passo 1

Pow, sempre o problema te pedir o raio de convergência, o que ele está realmente querendo é saber para qual intervalo de x essa série dali vai convergir.

A ideia aqui então é a gente falar que essa série converge e tirar a informação do x daí, sacou?!

Ok! Então se a série converge ela satisfaz um teste muuuuito importante pra gente determinar esse raio, o teste da razão, lembra-se dele?!

Não se lembra, não tem problema que a gente vai lembrar agora! :D

É aquele teste que fala que se esse limite aqui

lim n a n + 1 a n

for menor 1 , então com certeza a série converge e é exatamente isso que a gente vai fazer, ou seja, a gente vai avaliar esse limite

lim n a n + 1 a n < 1

e através dele a gente vai falar quem é x , pegou?

Beleza, mas quem são esses caras aí no nosso caso?

Vem comigo que você já vai descobrir ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Esse a n é o próprio termo da série

a n = - 1 n n ln n x n

enquanto que o a n + 1 , bem... o índice n + 1 já diz tudo neh:

a n + 1 = - 1 n + 1 ( n + 1 ) ln n + 1 x n + 1

Beleza?

Passo 3

Se a gente voltar então para o teste da razão e substituir esses caras

lim n a n + 1 a n < 1      

lim n - 1 n + 1 ( n + 1 ) ln n + 1 x n + 1 - 1 n n ln n x n < 1      

Vamos dar uma arrumadinha nessa casa aí, heim

lim n - 1 n + 1 x n + 1 ( n + 1 ) ln n + 1 n ln n - 1 n x n < 1    

Repare que como estamos trabalhando com o módulo, esse - 1 n + 1 e esse - 1 n , não nos interessa em nada

lim n x n + 1 ( n + 1 ) ln n + 1 n ln n x n < 1      

por propriedade de potência, podemos falar que x n + 1 = x n x , logo

lim n x n x ( n + 1 ) ln n + 1 n ln n x n < 1  

lim n x n + 1 ln n + 1 n ln n < 1

Como esse x ta multiplicando e não depende de n , a gente pode tira-lo do limite, só não se esqueça de tirar com o módulo, heim!

lim n x n ln n n + 1 ln n + 1 < 1  

x lim n n ln n n + 1 ln n + 1 < 1

Passando esse módulo de x pra lá

lim n n ln n n + 1 ln n + 1 < 1 x

Cara, se invertermos esse essa fração do outro lado, a fração de dentro do limite também inverte, olha só:

lim n n + 1 ln n + 1 n ln n > x

AHHHH! Não se esqueça de inverter o sinal de menor, heim!

Mas opa! Olha o x que queríamos descobrir aparecendo aí!

Então vamos prosseguir com as continhas que estamos no caminho certo!

Passo 4

Agora vamos ver qual é a do limite do lado de cá

lim n n + 1 ln n + 1 n ln n       =     ?

Como esses caras estão multiplicando, a gente pode usar aquela malandragem () e separar esse limite aí em dois

lim n n + 1 ln n + 1 n ln n = lim n n + 1 n lim n ln n + 1 ln n

Viu? Separamos em dois limites com termos semelhantes apenas pra facilitar

Passo 5

No primeiro limite...

lim n n + 1 n =

a gente pode eliminar esse módulo daí, porque n um número natural, e portanto positivo

lim n n + 1 n

Repare que infelizmente a gente não pode aplicar L ' h o p i t a l

Por quê?

Porque n + 1 n não é uma função contínua. Na verdade ela não é nem sequer uma função !

MAS!!! (RARA! Têm um mas :D ) a gente pode trabalhar como sendo uma função contínua pro limite! Essa daqui oh

lim x x + 1 x

e essa função aí a gente sabe o limite por L ' h o p i t a l !

lim x x + 1 x = lim x 1 1 = 1

Logo, a gente conclui que o limite de n + 1 n é...

lim n n + 1 n = 1

Passo 6

Quanto ao outro limite, podemos fazer algo semelhante, veja só:

lim n ln n + 1 ln n = lim n ln n + 1 ln n =

Comparando com uma função que a gente pode trabalhar normal...

lim x ln x + 1 ln x =

Chamando L ' h o p i t a l ...

lim x ln x + 1 ' ln x ' =

lim x 1 x + 1 1 x = lim x 1 x + 1 x 1 =

lim x x x + 1 =

Aplicando L ' h o p i t a l novamente...

lim x ( x ) ' x + 1 ' = l i m x 1 = 1

Passo 7

Então voltando para aquele limite escroto que a gente tinha que resolver

lim n n + 1 ln n + 1 n ln n > x  

lim n n + 1 n lim n ln n + 1 ln n > x  

1 1 > x  

Concluímos então que o raio de convergência é 1 , pois

- 1 < x < 1

Pegou?

Passo 8

A gente basicamente determinou o intervalo já, mas só falta mais um detalhe: Os limites desse intervalo, 1 e - 1 , entra no intervalo de convergência?

Vamos testar cada um deles e tirar nossa conclusões!

Passo 9

Vamos começar então testando o x = - 1 . Vamos substituir na série que desejamos testar...

n = 2 - 1 n n ln n x n = n = 2 - 1 n n ln n ( - 1 ) n =

Multiplicando esse - 1 aí por propriedade de potência

n = 2 - 1 2 n n ln n =

como 2 n é sempre par, - 1 2 n = 1 , logo

n = 2 1 n ln n

Então temos que testar essa série aí, se converge ou diverge.

Observe que esse termo de dentro da soma é positivo sempre, e, além disso, para n muito grande ele vai a 0 , ou seja... podemos utilizar o teste da integral!

lim t 2 t 1 x ln x d x

Se essa integral imprópria convergir, então a série converge, e o contrário também é válido!

Passo 10

Pra resolver essa integral aí, podemos fazer uma substituição simples...

ln x = a

então d a = 1 x d x

1 x ln x d x = 1 a 1 x d x = 1 a d a =

ln a

Voltando para a variável original...

2 t 1 x ln x d x =   ln ln x a t =

ln ln t - ln ln a

Se aplicarmos o limite da integral imprópria aí, vamos notar que

l i m t ln ln t - ln ln a =  

ele estora para o infinito

Então a integral

lim t 2 t 1 x ln x d x

diverge e portanto a série

n = 2 1 n ln n

também diverge, beleza?

Passo 11

Tá, vimos que em x = - 1 a série não converge, mas será que acontece o mesmo para x = 1 ?

Vejamos: Repetindo o raciocínio, ou seja

n = 2 - 1 n n ln n x n = n = 2 - 1 n n ln n ( 1 ) n

n = 2 - 1 n n ln n

Repare que essa série aí, diferente da primeira é alternada de valores positivos que vai a zero! Então a gente pode afirmar com toda a certeza pelo teorema das séries alternadas que ela converge!

Sendo assim, o intervalo de convergência da série de potência é...!

(UFFFFA! Nem acredito que chegamos ao fim hehe )

x ( - 1,1 ]

Resposta

R a i o   d e   c o n v e r g ê n c i a = 1

I n t e r v a l o   d e   c o n v e r g ê n c i a :     x ( - 1,1 ]  

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