Exercícios Resolvidos de Série alternada

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G2 - 2017.2, Questão 2a

Determine se a sentença abaixo é verdadeira ou falsa:

  1. Se a n > 0 e n = 1 a n converge, então n = 1 - 1 n a n converge.

Passo 1

Temos aqui nossa tese:

  1. a n > 0
  2. n = 1 a n converge
  3. E nossa hipótese:

  4. n = 1 - 1 n a n

Vamos tentar chegar na hipótese por meio da tese.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a n > 0 para todo n , então temos que: - 1 n a n a n

Além disso, como - 1 n = 1 ou - 1 n = - 1 , então:

- a n - 1 n a n a n

Ou seja, vamos ter que:

- n = 1 a n n = 1 - 1 n a n n = 1 a n

Logo, o valor da série n = 1 - 1 n a n está limitado pelo valor da série n = 1 a n . Logo, como n = 1 a n converge, segue que

n = 1 - 1 n a n

Converge. Portanto a sentença é verdadeira.

Passo 3

Temos outra forma de chegar na conclusão. A primeira é ver que, como a n > 0 então:

n = 1 a n = n = 1 a n

Ou seja, a série é igual a série absoluta. Como a série converge, segue que converge absolutamente também. Se uma série converge absolutamente, então converge condicionalmente. Ou seja:

n = 1 - 1 n a n

Converge.

Resposta

Verdadeira.

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