Determine se a sentença abaixo é verdadeira ou falsa:

  1. Se a n > 0 e ∑ n = 1 ∞ a n converge, então ∑ n = 1 ∞ - 1 n a n converge.

Passo 1

Temos aqui nossa tese:

  1. a n > 0
  2. ∑ n = 1 ∞ a n converge
  3. E nossa hipótese:

  4. ∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Vamos tentar chegar na hipótese por meio da tese.

Passo 2

Como a n > 0 para todo n , então temos que: - 1 n a n ≤ a n

Além disso, como - 1 n = 1 ou - 1 n = - 1 , então:

- a n ≤ - 1 n a n ≤ a n

Ou seja, vamos ter que:

- ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ - 1 n a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n

Logo, o valor da série ∑ n = 1 ∞ - 1 n a n está limitado pelo valor da série ∑ n = 1 ∞ a n . Logo, como ∑ n = 1 ∞ a n converge, segue que

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Converge. Portanto a sentença é verdadeira.

Passo 3

Temos outra forma de chegar na conclusão. A primeira é ver que, como a n > 0 então:

∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ a n

Ou seja, a série é igual a série absoluta. Como a série converge, segue que converge absolutamente também. Se uma série converge absolutamente, então converge condicionalmente. Ou seja:

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Converge.

Resposta

Verdadeira.

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