Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP - Cálculo 4 - P1 2010 - 2b

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

n = 1 - 1 n ln 1 + 2 n 3

Passo 1

Uma série alternada né galerinha? Vamos primeiro fazer o teste para ver se ela é absolutamente convergente, olhando essa cara, podemos comparar ela com uma função que conhecemos, mas teste da comparação não parece fácil de fazer. Mas podemos comparar ela com o teste da comparação no limite! Mas que função escolher? Ué, podemos aproveitar uma própria função que já tem nessa série : 2 n 3 , sabemos que ela é uma p-série com p = 1 3 , logo é divergente, então vamos ver isso daí:

lim n ln 1 + 2 n 3 2 n 3

Mas sabemos que 2 n 3 0   q u a n d o   n , podemos substituir isso por :

lim x 0 + ln 1 + x x

Aplicando L’Hospital:

lim x 0 + 1 1 + x = 1

Logo a série não é absolutamente convergente!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos usar o critério de Leibniz para verificar se ela é condicionalmente convergente, se você reparar na função ln 1 + 2 n 3 , vai ver que ela é uma série descrecente, pois o valor da função vai caindo de acordo com o aumento de n , mas repare também que o valor do logaritmo no limite é 0 , ou seja, ela é limitada inferiormente, consequentemente ela é condicionalmente convergente pelo critério de Leibniz

Resposta

Condicionalmente Convergente!

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