Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P1 - 2010, Questão 2d

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

  n = 1 - 1 n n 3 e n 2 e n + 1

Passo 1

É uma série alternada, então vamos primeiro verificar se ela é absolutamente convergente.

Bem, da uma olhada nessa função, tira esse - 1 n primeiro e aquela " + 1 " do denominador, viraria uma função bem mais fácil de determinar se é absolutamente ou condicionalmente convergente, vamos ver isso:

n 3 e n 2 e n = n 3 e - n 2

Ok, mas se eu tirei esse - 1 n , então a minha função nova é maior que a antiga, e se eu diminui o valor do denominador, vai ficar maior ainda, logo:

- 1 n n 3 e n 2 e n + 1 n 3 e - n 2

Então se essa função convergir, necessariamente a original deve convergir. Como ela está relacionada com multiplicações simples, o teste da razão parece legal!

a n + 1 a n = ( n + 1 ) 3 e - n + 1 2 n 3 e - n 2 = n + 1 3 n 3 e - 1 2

l i m n a n + 1 a n = l i m n n + 1 3 n 3 e - 1 2 = e - 1 2 < 1

Logo série é absolutamente convergente, pelo critério da razão.

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Resposta

A série é absolutamente convergente, pelo critério da razão.

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