Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P1 - 2013, Questão 2c

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

  n = 1 - 1 n n 3 1 - cos 1 n 3

Passo 1

Bem, é uma série alternada, vamos ver se ela é absolutamente convergente. Mas antes temos que analisar o comportamento dessa função, nem sabemos se ela tende a 0 quando n , vamos ver isso daí:

lim n n 3 1 - cos 1 n 3 = lim n 1 - cos 1 n 3 1 n 3

Da pra substituir u = 1 n 3 , então quando n   o u 0

Assim fica:

lim u 0 1 - cos u u

Inderterminação de 0 0 , logo, por L’Hospital:

lim u 0 sen u 1 = 0

Ok, o teste da divergência serve só quando o limite é diferente de 0 , que aí afirmamos que ela diverge, vamos usar algum outro teste!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos comparar com 1 n 3 , já que ele aparece tanto na série, vamos fazer o teste da comparação no limite:

lim n a n b n = lim n 1 - cos 1 n 3 1 n 6

Fazendo a mesma substituição u = 1 n 3 !

lim u 0 1 - cos u u 2

Por L’Hospital:

lim u 0 sen u 2 u

Novamente:

lim u 0 cos u 2 = 1 2

Então as séries tem o mesmo comportamente, como já sabemos que 1 n 3 converge, concluímos que a série converge absolutamente pelo critério da comparação no limite!

Resposta

Converge Absolutamente

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