Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P1 - 2013, Questão 2a

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

n = 1 - 1 n + 1 n 2 + 2 2 n 3 + 1

Passo 1

Bem galera, temos aí uma típica série alternada, primeira coisa a se fazer é verificar se ela é absolutamente convergente, ou seja, queremos ver se a série

n = 1 n 2 + 2 2 n 3 + 1

Converge.

Analisando a função, já da pra ver que o limite do termo geral vai para 0 , porque o denominador tem grau 3 e o numerador tem grau 2, então o critério da divergência não será útil.

O Critério da raiz me parece uma péssima ideia não temos nada elevado a n .

Mas e se usarmos o critério da comparação no limite?! Como o grau do denominador é 1 a mais que o do numerador vamos comparar com a série

n = 1 1 n

lim n a n b n = lim n n 2 + 2 2 n 3 + 1 1 n = lim n n 3 + 2 n 2 n 3 + 1 = 1 2

Opa, pelo critério da comparação no limite, essa série tem o mesmo comportamente de 1 n , logo ela diverge!

Então vimos que ela não é absolutamente convergente.

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Passo 2

Agora temos que usar o critério da série alternada para ver se ela é condicionalmente convergente ou não.

Primeiro temos que ver se ela é decrescente. Para isso vamos analisar a derivada de

n 2 + 2 2 n 3 + 1

Isso porque, se imaginarmos isso como uma função, para ela ser decrescente a sua derivada deve ser menor que 0 .

A derivada vai ficar

n 2 + 2 2 n 3 + 1 ' = 2 n 2 n 3 + 1 - n 2 + 2 6 n 2 2 n 3 + 1 2

= 4 n 4 + 2 n - 6 n 4 - 12 n 2 2 n 3 + 1 2 = 2 n - 2 n 4 - 12 n 2 2 n 3 + 1 2

Vamos dar uma arrumada nisso

2 n - 2 n 4 - 12 n 2 2 n 3 + 1 2 = 2 n 1 - n 3 - 6 n 2 n 3 + 1 2 = 2 n 1 - n n 2 + 6 2 n 3 + 1 2

Repara que o denominador vai ser sempre positivo, isso porque é um cara ao quadrado ali.

Queremos olhar só para caras acima de 1 , repara que

n 2 + 6 > 1 2 + 6

n 2 + 6 > 7

Então, como estamos pegando n 1

n n 2 + 6 > 7

E

- n n 2 + 6 < - 7

1 - n n 2 + 6 < - 6

Isso nos diz que aquele cara dentro do parênteses é negativo, o n como já vimos é positivo, então vamos ter

+ - + = -

Logo a derivada é sempre negativa para n 1 e isso nos diz que ela é decrescente.

Passo 3

Agora temos que ver se o limite do termo sem o - 1 n + 1 vai para 0

lim n n 2 + 2 2 n 3 + 1 = a p l i c a n d o   L H lim n 2 n 6 n 2 = lim n 1 3 n = 0

Então a série alternada converge, e essa série é condicionamente convergente.

Resposta

Condicionamente convergente.

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