Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P1 - 2014, Questão 2a

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

n = 1 - 1 n n 5 n + 2 4 n + 1 n

Passo 1

Bem galera, temos aí uma típica série alternada, primeira coisa a se fazer é verificar se ela é absolutamente convergente, ou seja, queremos ver se a série em módulo:

n = 1 n 5 n + 2 4 n + 1 n

Converge.

O Critério da raiz me parece uma ótima ideia, já que tem uma grande parte da série elevada ao mesmo expoente:

Então temos

lim n a n n = lim n n 5 n + 2 4 n + 1 n n

Como esse cara dentro do módulo é sempre positivo temos

lim n n 5 n + 2 4 n + 1 n n = lim n n n 5 n + 2 4 n + 1

Então fazemos o limite:

lim n n n 5 n + 2 4 n + 1 = lim n n 1 n . 5 n + 2 4 n + 1 = lim n n 1 n lim n 5 n + 2 4 n + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver o primeiro limite:

lim n n 1 n = 0

Isso é uma indeterminação meio louca, para resolvermos isso temos que lembrar que

a = e ln a

Então

lim n n 1 n = lim n e ln n n = e lim n ln n n

Então precisamos do limite

lim n ln n n =

Isso é uma identerminação que podemos usar L’Hospital

lim n ln n n = lim n ln n ' n ' = lim n 1 n 1 = lim n 1 n = 1 = 0

Assim o nosso limite vai ser

lim n n 1 n = e lim n ln n n = e 0 = 1

Passo 3

Vamos agora para o outro limite

lim n 5 n + 2 4 n + 1

Isso são dois polinômios, então vamos colocar o maior grau em evidência

lim n 5 n + 2 4 n + 1 = lim n n 5 + 2 n n 4 + 1 n = lim n 5 + 2 n 4 + 1 n = 5 + 0 4 + 0 = 5 4

Passo 4

Vamos ter

lim n a n n = lim n n 1 n lim n 5 n + 2 4 n + 1 = 1 5 4 = 5 4

Como esse limite é maior que 1 , essa série diverge pelo teste da raiz

Passo 5

Agora queremos saber se a série é condicionamente convergente.

n = 1 - 1 n n 5 n + 2 4 n + 1 n

Para isso temos que achar o limite de b n e ver se ele é decrescente, onde

b n = n 5 n + 2 4 n + 1 n

Vamos começar com o limite

lim n b n = lim n n 5 n + 2 4 n + 1 n = lim n n lim n 5 n + 2 4 n + 1 n

O primeiro limite vai para , então resta ver se o outro limite vai para alguma coisa diferente de 0 .

Passo 6

Vamos ao limite

Repara que temos

lim n 5 n + 2 4 n + 1 n =

Mil indeterminações né? Vamos começar arrumando o / , para isso colocamos o maior grau desses polinômios em eviência

lim n n 5 + 2 n n 4 + 1 n n = lim n 5 + 3 n 4 + 2 n n = 5 4 =

Passo 7

Assim temos

lim n b n = lim n n lim n 5 n + 2 4 n + 1 n = =

E essa série diverge

Resposta

Diverge

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