Exercícios Resolvidos de Série alternada

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2019.1, Questão 1.1

Determine se a série n = 2 ( - 1 ) n n   l o g ( n ) é (condicionalmente ou absolutamente) convergente, ou divergente.

Passo 1

Verificar o tipo de série. Como é uma série em que mudamos de sinal a cada termo por causa de ( - 1 ) n , temos uma série altenada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Utilizar o teste da série alternada.

  1. Vamos considerar o termo da série alternada apenas c:
  2. c = 1 n   l o g ( n ) = ( n   l o g ( n )   ) - 1

  3. Se o nosso termo é descrescente e vai a zero quando n , então a série converge.

Passo 3

Testar se a série descresce e vai a zero quando n :

lim n c = lim n 1 n log n = 0

Passo 4

Descobrimos que o limite da nossa função é zero, agora precisamos saber se a nosso termo c é decrscente. Podemos tirar a derivada do nosso termo c, se ela for positiva, ele é crescente e se for negativa, decrescente.

c = f ( n ) = 1 n   l o g ( n ) = ( n   l o g ( n )   ) - 1

Fazendo:

u = n   l o g ( n )

Pela regra da cadeia:

d u = log n + n n = log n + 1 d n

f u = u - 1

f ' ( u ) = - 1 u 2

f ' n = u d u

f ' n =   - 1 ( n   l n n ) 2 x ( log n 1 )

f ' n =   - ln n + 1 ( n   l n n ) 2

Como a derivada é menor que zero, nossa função é descrescente. Então a nossa série converge!

Passo 5

Agora precisamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso temos que ver se essa série aqui converge:

n = 2 ( - 1 ) n n   l o g ( n )

n = 2 1 n   l o g ( n )

Como 1 n   l o g ( n ) é sempre positivo:

n = 2 1 n   l o g ( n )

Para descobrir a convergência vamos usar o teste da integral:

n = 2 1 n   l o g ( n ) d n

Vamos arrumar essa integral imprópria:

n = 2 1 n   l o g ( n ) d n = lim a n = 2 a 1 n   l o g ( n ) d n

Passo 6

Vamos resolver a integral:

n = 2 a 1 n   l o g ( n ) d n

Vamos usar mudança de variável:

log n = u

1 n   d n = d u

Temos que mudar os limites de integração:

n = 2   u = l o g ( 2 )

n = a   u = l o g ( a )

n = 2 a 1 n   l o g ( n ) d n = l o g ( 2 ) l o g ( a ) 1 n   d n

log n | l o g ( a ) l o g ( 2 ) = log log a - l o g [ log 2 ]

l i m a log log a - log log 2 =

Logo, a série de valores absolutos diverge e a nossa série converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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