Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P-SUB - 2013, Questão 2b

Determine se a série converge absolutamente, se converge condicionalmente ou se diverge

n = 2 - 1 n n ln n

Passo 1

Temos uma série alternada, então vamos começar olhando a convergência absoluta.

Temos a seguinte série

n = 2 - 1 n n ln n = n = 2 1 n ln n

Se olharmos bem esse termo da série vai para 0 quando n , então o teste da divergência não vai ajudar.

Repara que temos ln n e 1 n no termo geral, isso nos dá uma dica de usarmos o teste da integral.

Para o teste da integral temos que fazer

f x = 1 x ln x

Antes temos que ver se essa parada é decrescente, para isso vamos achar a sua derivada

f ' x = - ln x + x ln x - 1 / 2 . 1 x 2 x ln x 2 = - ln x + 1 2 ln x x ln x 2 = - 2 ln x + 1 2 ln x x ln x 2

Como temos caras positivos no numerador e no denominador, aquele menos na frente garante que a derivada é negativa, então a série é decrescente

E devemos olhar a convergência da integral

2 f x d x = 2 1 x ln x d x

Se essa integral convergir então a série converge, se ela divergir a série diverge.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos para essa integral

2 1 x ln x d x

Essa integral com é uma integral imprópria, e ela não tem nenhum ponto de descontinuidade nesse intervalo, então vamos ter

2 1 x ln x d x = lim a 2 a 1 x ln x d x

Temos que resolver

1 x ln x d x

Vamos fazer

ln x = u

d u = 1 x d x

E a integral vai ficar

1 x ln x d x = d u u

E ela podemos resolver de boa

d u u = u - 1 / 2 d u = u 1 / 2 1 / 2 = 2 u 1 / 2

Voltando para x

2 u 1 / 2 = 2 ln x 1 / 2

Passo 3

Voltando para o nosso limite temos

lim a 2 a 1 x ln x d x = lim a 2 ln x 1 / 2 2 a = lim a 2 ln a 1 / 2 - 2 ln 2 1 / 2

Temos

lim a 2 ln a 1 / 2 - 2 ln 2 1 / 2 = 2 ln 1 / 2 - 2 ln 2 1 / 2 =

E essa integral diverge, logo a série diverge também.

Passo 4

Agora temos que ver a convergência condicional

n = 2 - 1 n n ln n

Essa é uma série alternada, então vamos aplicar o teste da série alternada.

Primeiro temos que ver se b n é decrescente e se ele vai para 0 quando n

Onde

b n = 1 n ln n

Vamos calcular sua derivada e ver se o seu sinal. Sendo

f n = b n

Então

f x = 1 x ln x

A sua derivada já calculamos ali em cima e já vimos que

f ' x < 0

Passo 5

Vamos ao limite agora

lim n 1 n ln n = 1 = 1 = 0

Então como b n é decrescente e o seu limite vai para 0 , pelo teste da série alternada essa série converge.

Isso nos diz que ela converge condicionalmente

Resposta

Converge condicionalmente

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