Séries Alternadas
Determine se a série converge absolutamente, se converge condicionalmente ou se diverge
Passo 1
Temos uma série alternada, então vamos começar olhando a convergência absoluta.
Temos a seguinte série
Se olharmos bem esse termo da série vai para quando , então o teste da divergência não vai ajudar.
Repara que temos e no termo geral, isso nos dá uma dica de usarmos o teste da integral.
Para o teste da integral temos que fazer
Antes temos que ver se essa parada é decrescente, para isso vamos achar a sua derivada
Como temos caras positivos no numerador e no denominador, aquele menos na frente garante que a derivada é negativa, então a série é decrescente
E devemos olhar a convergência da integral
Se essa integral convergir então a série converge, se ela divergir a série diverge.
Passo 2
Vamos para essa integral
Essa integral com é uma integral imprópria, e ela não tem nenhum ponto de descontinuidade nesse intervalo, então vamos ter
Temos que resolver
Vamos fazer
E a integral vai ficar
E ela podemos resolver de boa
Voltando para
Passo 3
Voltando para o nosso limite temos
Temos
E essa integral diverge, logo a série diverge também.
Passo 4
Agora temos que ver a convergência condicional
Essa é uma série alternada, então vamos aplicar o teste da série alternada.
Primeiro temos que ver se é decrescente e se ele vai para quando
Onde
Vamos calcular sua derivada e ver se o seu sinal. Sendo
Então
A sua derivada já calculamos ali em cima e já vimos que
Passo 5
Vamos ao limite agora
Então como é decrescente e o seu limite vai para , pelo teste da série alternada essa série converge.
Isso nos diz que ela converge condicionalmente
Resposta
Converge condicionalmente
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