Determine se a série converge absolutamente, se converge condicionalmente ou se diverge

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n

Passo 1

Temos uma série alternada, então vamos começar olhando a convergência absoluta.

Temos a seguinte série

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

Se olharmos bem esse termo da série vai para 0 quando n → ∞ , então o teste da divergência não vai ajudar.

Repara que temos ln ⁡ n e 1 n no termo geral, isso nos dá uma dica de usarmos o teste da integral.

Para o teste da integral temos que fazer

f x = 1 x ln ⁡ x

Antes temos que ver se essa parada é decrescente, para isso vamos achar a sua derivada

f ' x = - ln ⁡ x + x ln ⁡ x - 1 / 2 . 1 x 2 x ln ⁡ x 2 = - ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x x ln ⁡ x 2 = - 2 ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x x ln ⁡ x 2

Como temos caras positivos no numerador e no denominador, aquele menos na frente garante que a derivada é negativa, então a série é decrescente

E devemos olhar a convergência da integral

∫ 2 ∞ f x d x = ∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x d x

Se essa integral convergir então a série converge, se ela divergir a série diverge.

Passo 2

Vamos para essa integral

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x d x

Essa integral com é uma integral imprópria, e ela não tem nenhum ponto de descontinuidade nesse intervalo, então vamos ter

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 x ln ⁡ x d x

Temos que resolver

∫ 1 x ln ⁡ x d x

Vamos fazer

ln ⁡ x = u

d u = 1 x d x

E a integral vai ficar

∫ 1 x ln ⁡ x d x = ∫ d u u

E ela podemos resolver de boa

∫ d u u = ∫ u - 1 / 2 d u = u 1 / 2 1 / 2 = 2 u 1 / 2

Voltando para x

2 u 1 / 2 = 2 ln ⁡ x 1 / 2

Passo 3

Voltando para o nosso limite temos

lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 x ln ⁡ x d x = lim a → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x 1 / 2 2 a = lim a → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ a 1 / 2 - 2 ln ⁡ 2 1 / 2

Temos

lim a → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ a 1 / 2 - 2 ln ⁡ 2 1 / 2 = 2 ln ⁡ ∞ 1 / 2 - 2 ln ⁡ 2 1 / 2 = ∞

E essa integral diverge, logo a série diverge também.

Passo 4

Agora temos que ver a convergência condicional

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n

Essa é uma série alternada, então vamos aplicar o teste da série alternada.

Primeiro temos que ver se b n é decrescente e se ele vai para 0 quando n → ∞

Onde

b n = 1 n ln ⁡ n

Vamos calcular sua derivada e ver se o seu sinal. Sendo

f n = b n

Então

f x = 1 x ln ⁡ x

A sua derivada já calculamos ali em cima e já vimos que

f ' x < 0

Passo 5

Vamos ao limite agora

lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n = 1 ∞ ∞ = 1 ∞ = 0

Então como b n é decrescente e o seu limite vai para 0 , pelo teste da série alternada essa série converge.

Isso nos diz que ela converge condicionalmente

Resposta

Converge condicionalmente

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