Exercícios Resolvidos de Série alternada

UFF, Equações Diferenciais, Listas GMA - Lista 2, Questão 1c

Determine se a série

n = 1 a n

Converge ou diverge no seguinte caso: a n = - 1 n ln n

Passo 1

Bom, a gente sempre deve fazer o teste da divergência antes de tentar qualquer outro teste (a não ser que a série envolva um fatorial ou seja muito complicado de calcular o limite), porque se o cara for divergente, a gente já mata a questão, ok? Você lembra o que diz o teste da divergência?

Relaxa, nada mais é que calcular o limite do termo geral da série, quando n . Se esse limite for diferente de zero, a série diverge, e se ele for igual a zero, nada podemos concluir. Então bora fazer esse teste:

lim n - 1 n ln n

Confesso que esse limite não é um dos mais fáceis, mas repara que temos uma quantidade crescendo muito no denominador e uma outra quantidade sendo - 1 ou 1 . Todo esse termo está cada vez menor, indo pra zero. Você pode usar o Teorema do Confronto pra ver isso.

Na real, como estamos com uma série alternada, você não precisa se preocupar muito em fazer o teste da divergência.

Então faremos outro teste!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Cara, sempre que você se deparar com uma série alternada, faça o teste da série alternada, é ele que tem que vir na sua mente! Se você tem uma série - 1 n b n , esse teste pede que respeite as seguintes condições para que a nossa série seja convergente:

Ou seja, o termo que acompanha o - 1 n tem que ser DECRESCENTE e o limite ir pra zero.

Passo 3

Identificando nosso termo b n :

b n = 1 ln n

Pensa comigo: l n ( n ) é uma função crescente, ou seja:

ln n + 1 > ln n

Isso quer dizer que:

1 ln n + 1 < 1 ln n

Em outros termos:

b n + 1 < b n

Shooooow, nosso b n é decrescente!

Passo 4

Bora calcular o limite dele!

lim n 1 ln n = 0

Maneiro demaaais! Então nossa série converge!

Resposta

A série converge.

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