Determine quais séries abaixo convergem e quais divergem.

∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n n

Passo 1

Opa, temos uma série alternada. Então para testar sua convergência, basta usar o critério da série alternada.

Aqui vamos ter

a n = - 1 n b n → b n = ln ⁡ n n

Temos que ver se:

  1. O termo geral b n é decrescente
  2. Se o lim n → ∞ ⁡ b n vai ser 0

Passo 2

Vamos começar vendo se o termo geral vai ser decrescente. Para isso, temos duas alternativas. Podemos tentar mostrar que a n + 1 é menor que a n , o que pode ser difícil, ou podemos derivar a função f n = a n e ver se f ' n é negativo.

Vamos fazer a segunda forma, porque nesse caso é mais fácil mostrar isso. Afinal, adivinhar um algebrismo com logaritmo é algo beeem complicado

f n = ln ⁡ n n

Derivando, vamos ter

f ' n = 1 n n - 1 . ln ⁡ n n 2

f ' n = 1 - ln ⁡ n n 2

Agora temos que analisar o sinal dessa derivada. Primeiro, vamos repara que o denominador, n 2 , é sempre positivo.

A nossa derivada vai ser negativa se o numerador for negativo, ou seja

1 - ln ⁡ n < 0

ln ⁡ n > 1

n > e 1

n > e

Assim, para n ≥ 3 , o termo geral vai ser decrescente.

Passo 3

Vamos agora ao limite, que vai ser

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = ∞ ∞

Isso vai dar uma indeterminação, para sair dessa indeterminação, vamos aplicar L’Hospital

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ' n ' = lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 ∞ = 0

Logo, o nosso limite vai ser 0 .

Acabamos de ver que a série é decrescente, e o limite do termo geral vai ser 0 , assim ela converge pelo critério da série alternada.

Resposta

Converge

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Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1