Exercícios Resolvidos de Série alternada

UFPE, Cálculo 3, 3º EE - 2013.1, Questão 2d

Determine quais séries abaixo convergem e quais divergem.

n = 1 - 1 n ln n n

Passo 1

Opa, temos uma série alternada. Então para testar sua convergência, basta usar o critério da série alternada.

Aqui vamos ter

a n = - 1 n b n b n = ln n n

Temos que ver se:

  1. O termo geral b n é decrescente
  2. Se o lim n b n vai ser 0
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Passo 2

Vamos começar vendo se o termo geral vai ser decrescente. Para isso, temos duas alternativas. Podemos tentar mostrar que a n + 1 é menor que a n , o que pode ser difícil, ou podemos derivar a função f n = a n e ver se f ' n é negativo.

Vamos fazer a segunda forma, porque nesse caso é mais fácil mostrar isso. Afinal, adivinhar um algebrismo com logaritmo é algo beeem complicado

f n = ln n n

Derivando, vamos ter

f ' n = 1 n n - 1 . ln n n 2

f ' n = 1 - ln n n 2

Agora temos que analisar o sinal dessa derivada. Primeiro, vamos repara que o denominador, n 2 , é sempre positivo.

A nossa derivada vai ser negativa se o numerador for negativo, ou seja

1 - ln n < 0

ln n > 1

n > e 1

n > e

Assim, para n 3 , o termo geral vai ser decrescente.

Passo 3

Vamos agora ao limite, que vai ser

lim n ln n n =

Isso vai dar uma indeterminação, para sair dessa indeterminação, vamos aplicar L’Hospital

lim n ln n n = lim n ln n ' n ' = lim n 1 / n 1 = lim n 1 n = 1 = 0

Logo, o nosso limite vai ser 0 .

Acabamos de ver que a série é decrescente, e o limite do termo geral vai ser 0 , assim ela converge pelo critério da série alternada.

Resposta

Converge

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